Механические колебания

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Помогите разобраться. Задача: Груз массы $m $ подвешен на нити длиной $L $ к потолку вагона, движущегося с ускорением $a$. Найти период колебаний маятника $T$.

Колебания возникают как следствие возникновения возвращающей силы, определяемой тангенциальной проекцией силы тяжести на направление движения груза, и из этих соображений выводится известная формула:

(1) $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{a_z}}$, где: $a_z$ - результирующее ускорение на равновесное направление, определяемое силой тяжести.



Написав и решив систему в проекциях на $OX , \, OY$:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} ma=F\sin\alpha \\ 0=F\cos\alpha -mg \\ \end{array} \right.$$

найдем силу натяжения нити $F$ в равновесном положении в отсутствии колебаний и результирующее ускорение, сообщаемое грузу этой силой:

(2) $F=m\sqrt{g^2+a^2}$ ,

(3) $a_z=\sqrt{g^2+a^2}$ , не понятно следующее:

В формулу (1) входит ускорение $a_z$, создаваемое силой тяжести, а я нашел ускорение, создаваемое силой натяжения, которое не совпадает с проекцией на равновесное направление силы тяжести $F_t$:

(4) $F_t$=mg$\cdot\cos\alpha$ , и соответственно ускорение:

(5) $a_z=g\cos\alpha$ . Почему в (1) я должен подставить (3), а не (5)?

В неинерциальной СО (НСО) все понятно, а в инерциальной СО (ИСО) не понимаю.

[EUgeneUS]

1. Что такое у Вас $F_t$, особенно в случае ИСО?

2.

Stensen в сообщении #1326862 писал(а):

В формулу (1) входит ускорение $a_z$, создаваемое силой тяжести,

Почему оно должно создаваться только силой тяжести?

[Stensen]

EUgeneUS в сообщении #1326869 писал(а):

1. Что такое у Вас $F_t$, особенно в случае ИСО?

$F_t=mg\cdot\cos\alpha$ - это проекция силы тяжести на направление равновесного положения. Равновесным, может не корректно, я называю положение груза, в котором он находится не колеблясь.

EUgeneUS в сообщении #1326869 писал(а):

2.

Stensen в сообщении #1326862 писал(а):

В формулу (1) входит ускорение $a_z$, создаваемое силой тяжести,

Почему оно должно создаваться только силой тяжести?

При выводе этой формулы (1) возвращающей силой является проекция $mg$ на касательное направление траектории груза, сила натяжения нормальна и не участвует в уравнении:

$ma_\tau =-mg\cdot\sin\alpha$ , где:

$a_\tau = \varepsilon\cdot L$ - касательное ускорение груза,
$\varepsilon , \, L$ - угловое ускорение и длина нити

$\ddot{\alpha} + \frac{g}{L}\alpha=0$ и т.д., т.е. кроме $mg$ силы не участвуют. Или что-то не понимаю?

[EUgeneUS]

Stensen в сообщении #1326870 писал(а):

$F_t=mg\cdot\cos\alpha$ - это проекция силы тяжести на направление равновесного положения.

Это у Вас на первом рисунке ("ИСО"), а на втором рисунке ("НСО") $F_t$ не является проекцией $mg$ "на направление равновесного положения". Так что же это?

Stensen в сообщении #1326870 писал(а):

При выводе этой формулы (1) возвращающей силой является проекция $mg$ на касательное направление траектории груза, сила натяжения нормальна и не участвует в уравнении

Так при выводе формулы (1) никаких других сил, кроме силы тяжести и силы натяжения нити и не было. А сейчас есть.

Если Вы не переходите в НСО, где точка подвеса покоится, то в этой задаче Вы должны:
1. Найти "равновесный" угол наклона нити. Это Вы сделали.
2. Записать дифф. уравнение на угол, учитывая все существующие силы, а не только силу тяжести. Линеаризовать уравнение.
3. Получить уравнение гармонического осциллятора и найти его частоту.

UPD. То есть сделать всё тоже самое, что делается в учебниках при выводе формулы (1), но применительно уже к условиям задачи.

Если Вы какой-то из этих пунктов пропускаете, то, скорее всего Вы неявно где-то перешли в НСО.

[Stensen]

Спасибо, разобрался