Максимальное ускорение от силы Архимеда

[Corvax]

Я пытаюсь разобраться ускорением тела, всплывающего в жидкости. Некоторое тело, известного объема $V$ и массы $M_t$ полностью погружено в воду плотностью $\rho_w$ и зафиксировано в неподвижном состоянии. Плотность тела $\rho_t$ меньше плотности жидкости. Как корректно вычислить ускорение тела в момент, когда его перестают удерживать на месте и оно начинает всплывать?
В этот момент на тело действуют сила плавучести (Архимеда) $F_a=g\rho_wV$ и сила тяжести $F_g=gM_t$, действующие разнонаправленно Так как тело в момент начала движения еще не имеет скорости, то силы сопротивления, действующие на тело, нулевые.
Суммарная сила, действующая на тело, равна

$$F=F_a-F_g= g\rho_wV-gM_t= g\rho_wV-g\rho_tV= g(\rho_w-\rho_t)V$$

Из второго закона Ньютона имеем ускорение тела

$$a=\frac{F}{M_t}=\frac{g(\rho_w-\rho_t)V}{\rho_tV}=g\frac{(\rho_w-\rho_t)}{\rho_t}$$

С учетом направления действия сил

$$a=-g\frac{(\rho_w-\rho_t)}{\rho_t}$$

В случае, когда плотность тела существенно меньше плотности жидкости $\rho_t<<\rho_w$ его ускорение, рассчитанное по этой формуле много больше $g$ и неограниченно возрастает при стремлении $\rho_t$ к нулю.
Ошибка в этих рассуждениях в том, что при всплытии под действием силы плавучести необходимо учитывать не только движение тела, но и движение воды, которую тело вытесняет. Вода стремится занять объем, освобожденный при перемещении тела и на это расходуется потенциальная энергия. Подробно об этом написано, например, в журнале «Квант» (http://kvant.mccme.ru/1976/01/vsplyvayu ... yj_puz.htm).
Корректной формулой для вычисления ускорения будет

$$a=-g\frac{(\rho_w-\rho_t)}{(\rho_w+\rho_t)}$$

В этом случае при отсутствии жидкости $rho_w=0$ ускорение тела будет $a=g$, т.е. оно будет падать под действием силы тяжести, а в случае тела с нулевой массой $rho_t=0$ оно будет всплывать с ускорением $a=-g$. При равенстве плотностей тела и жидкости $\rho_w=\rho_t$ ускорение будет нулевым $a=0$.
Следовательно ускорение тела под действием силы плавучести всегда находится в пределах $a\varepsilon[-g;+g]$ ?
Но есть контрпримеры, в которых ускорение всплывающего тела больше $g$. Тело сферической формы может всплывать с максимальным ускорением $a=2g$. (http://izron.ru/articles/aktualnye-vopr ... vnovesiya/)
У меня некоторое недопонимание. Единственный источник энергии, приводящий всплывающее тело в движение – гравитация. Тогда как ускорение тела может превышать $g$ ?
И второй вопрос. Насколько корректно будет вычислять «присоединенную массу» воды следующим способом.
1) Находим ускорение тела по формуле .
2) Находим условную массу, которая получила бы такое же ускорение под действием силы плавучести $M_2=F_a/a$
3) «Присоединенная масса» равна разнице этой условной массы и массы тела $M_a_d_d=M_2-M_t$

[DimaM]

Corvax в сообщении #1325540 писал(а):

У меня некоторое недопонимание. Единственный источник энергии, приводящий всплывающее тело в движение – гравитация. Тогда как ускорение тела может превышать $g$ ?

А почему нет?
Похожий пример: возьмем длинное легкое жесткое коромысло с одним длинным плечом и одним коротким. На длинное плечо положим тело массы $m$, а на короткое - гораздо более тяжелое тело массы $M$ (пусть $M/m\gg L/l$). Тогда после отпускания коромысла ускорение тела $m$ будет гораздо больше, чем $g$.

Corvax в сообщении #1325540 писал(а):

Корректной формулой для вычисления ускорения будет

$$a=-g\frac{(\rho_w-\rho_t)}{(\rho_w+\rho_t)}$$

Нет, эта формула неверна в общем случае. Правильно, как вы пишете дальше, использовать присоединенную массу (которая, вообще говоря, для нешара является тензором второго порядка, см., например, Кочин, Кибель, Розе "Теоретическая гидромеханика", ч. 1, гл. 7, п. 7).

[Corvax]

DimaM в сообщении #1325590 писал(а):

Corvax в сообщении #1325540 писал(а):

У меня некоторое недопонимание. Единственный источник энергии, приводящий всплывающее тело в движение – гравитация. Тогда как ускорение тела может превышать $g$ ?

А почему нет?
Похожий пример: возьмем длинное легкое жесткое коромысло с одним длинным плечом и одним коротким. На длинное плечо положим тело массы $m$, а на короткое - гораздо более тяжелое тело массы $M$ (пусть $M/m\gg L/l$). Тогда после отпускания коромысла ускорение тела $m$ будет гораздо больше, чем $g$.

А что в случае вплывающего тела будет аналогом рычага? И в чём в этом случае мы "проигрываем" согласно "золотому правилу механики"?

P.S.: За ссылку на источник спасибо.

[DimaM]

Corvax в сообщении #1325610 писал(а):

А что в случае вплывающего тела будет аналогом рычага?

Скорость частиц жидкости в основном не равна скорости тела.
Для шара задачка решается довольно просто: ищется потенциал скорости в виде диполя с граничными условиями непротекания, затем можно проинтегрировать и найти суммарную кинетическую энергию жидкости.
Еще попроще рассмотреть длинный цилиндр соосно в трубе (например, 4.3.10 в задачнике под ред. О.Я. Савченко), это для продвинутого школьника доступно.

[GraNiNi]

Corvax в сообщении #1325540 писал(а):

Тогда как ускорение тела может превышать $g$ ?

Дело в том, что при всплытии пузырька (шара), на него действует сила (Архимеда) пропорциональная его объему, а приложена она оказывается лишь к присоединенной массе воды, которая равна только половине массы воды от объема пузырька - вот он и разгоняется до 2g.

Это есть в приведенной Вами ссылке.

[Theoristos]

Есть одна тонкость.

При движении тела в воде, также определённым образом начинает двигаться вода вокруг него.
Это создаёт эффект "присоединённой массы", как будто увеличивая массу тела.
Это ограничит ускорение очень легких тел под действием архимедовой силы.

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

Theoristos в сообщении #1325786 писал(а):

Есть одна тонкость.

При движении тела в воде, также определённым образом начинает двигаться вода вокруг него.
Это создаёт эффект "присоединённой массы", как будто увеличивая массу тела.

Theoristos, так стартовое сообщение и ссылки из него ровно об этом. Вопрос ТС чуть-чуть о другом (и на него уже ответили).

[Theoristos]

Ну, пардон.