Вероятностное пространство

[bubu gaga]

Дискретный винеровский процесс. Отдельная реализация - это по сути вектор, где прыжок вверх обозначается единицей, а прыжок вниз минус единицей. Тогда отдельная реализация за время T = 5 можем выглядеть так (1, -1, 1, 1, -1). Но так как у нас выпадают не все координаты махом, то появляется естественная фильтрация, которая описывает, в какой последовательности выпадают компоненты. То есть:
F_1 = \{ \emptyset, \Omega \}
F_2 = \{ \emptyset, \Omega, \{ 1, *, *, *, * \}, \{-1, *, *, *, *\} \}
F_3 = \{ \emptyset, \Omega, \{ 1, 1, *, *, * \}, \{1, -1, *, *, *\}, \{ -1, 1, *, *, * \}, \{-1, -1, *, *, *\} \} и т.д.
Плюс конечно пересечения и дополнения

[Henrylee]

А, вот Вы о чем. Дело в том, что изначально $\Omega$ это не множество реализаций (а множество прообразов реализаций), а $\sigma$-алгебры в фильтрации это не классы множеств реализаций (а классы множеств их прообразов). Но даже если рассматривать образы сигма-алгебр в фильтрации (Ваши $F$), то они устроены не так, как Вы написали, а посложнее.

[bubu gaga]

Henrylee писал(а):

Дело в том, что изначально \Omega это не множество реализаций (а множество прообразов реализаций),

А можно поподробнее, если не сложно?

[Henrylee]

Обозначим через $\mathbb{R}^\infty_{\pm 1}$ множество реализаций (бесконечные последовательности + и - единиц).
Тогда тогда образ фильтрации при отображении $\mathbb{X}$ ($\mathbb {X}-$процесс)

$$ F_1=\{\emptyset,\mathbb{R}^\infty_{\pm 1}\} $$

$$ F_2=\{\emptyset,\mathbb{R}^\infty_{\pm 1},\mbox{

...
Вы это имели в виду?

[PAV]

Надо еще добавить объединения, а также учесть, что $F_2$ должно входить в $F_3$ и так далее. Можно сказать, наверное, что естественная фильтрация описывает общее расширение наших знаний о процессе с течением времени.

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Henrylee писал(а):

Дело в том, что изначально \Omega это не множество реализаций (а множество прообразов реализаций),

А можно поподробнее, если не сложно?

Реализация процесса с дискретным временем есть последовательность, то есть элемент порстранства $R^\infty_{\pm 1}$. Сам процесс это отображение

$$ \mathbb{X}:\Omega\rightarrow R^\infty_{\pm 1} $$

[bubu gaga]

Henrylee писал(а):

Вы это имели в виду?

Так точно. Я почему-то подумал, что проще будет засунуть все принципиально возможные реализации процесса в омегу. То есть под реализацией я понимал любую получившуюся траекторию к моменту T (то есть с T прыжками). В момент T мы перестаём наблюдать. Соответсвенно когда такая последовательность ещё рисуется (когда не все компоненты известны) мне казалось естественным думать, что "кто-то там" уже вытянул конкретную последовательнось из омеги и теперь показывает нам компоненту за компонентой. Стохостический процесс в этом случае есть постепенное узнавание конкретной последовательности из массы возможных. Фильтрация - это описание этого процесса узнавания. Чувствую, что я что-то напутал.

Henrylee писал(а):

\mathbb{X}:\Omega\rightarrow R^\infty_{\pm 1}

А как в этом случае выглядит омега, для приведённого мной примера с единицами и минус единицами?

[PAV]

bubu gaga писал(а):

Так точно. Я почему-то подумал, что проще будет засунуть все принципиально возможные реализации процесса в омегу. То есть под реализацией я понимал любую получившуюся траекторию к моменту T (то есть с T прыжками). В момент T мы перестаём наблюдать. Соответсвенно когда такая последовательность ещё рисуется (когда не все компоненты известны) мне казалось естественным думать, что "кто-то там" уже вытянул конкретную последовательнось из омеги и теперь показывает нам компоненту за компонентой. Стохостический процесс в этом случае есть постепенное узнавание конкретной последовательности из массы возможных. Фильтрация - это описание этого процесса узнавания. Чувствую, что я что-то напутал.

Вообще-то это вполне правильное понимание. Элементарный исход $\omega$ несет в себе информацию сразу обо всей траектории, но мы его непосредственно не знаем, а действительно наблюдаем компонента за компонентой.

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Henrylee писал(а):

Вы это имели в виду?

Так точно. Я почему-то подумал, что проще будет засунуть все принципиально возможные реализации процесса в омегу. То есть под реализацией я понимал любую получившуюся траекторию к моменту T (то есть с T прыжками). В момент T мы перестаём наблюдать. Соответсвенно когда такая последовательность ещё рисуется (когда не все компоненты известны) мне казалось естественным думать, что "кто-то там" уже вытянул конкретную последовательнось из омеги и теперь показывает нам компоненту за компонентой. Стохостический процесс в этом случае есть постепенное узнавание конкретной последовательности из массы возможных. Фильтрация - это описание этого процесса узнавания. Чувствую, что я что-то напутал.

Ну вообще-то и так можно на это смотреть. То есть можно считать множество возможных реализаций за омегу, а сам процесс считать тождественным отображением. Тогда все так, как Вы и написали.

bubu gaga писал(а):

Henrylee писал(а):

\mathbb{X}:\Omega\rightarrow R^\infty_{\pm 1}

А как в этом случае выглядит омега, для приведённого мной примера с единицами и минус единицами?

Ну можно навесить на реализации значок $\mathbb{X}^{-1}$. А что это будут за элементы - неизвестно. Как хотите. В частности можно считать и так как Вы сказали выше

[bubu gaga]

ewert, Henrylee, PAV, большое спасибо! Я всё ещё многого не понимаю, но область понимания вроде перестала сужаться . Я вечером обдумаю хорошенько, попробую переработать замечания, и напишу что я понял, что нет.

[bubu gaga]

\Omega множество элементарных событий. Мотивация - различимые реализации случайного феномена. Примеры - конечное множество отдельное чисел, континуум, множество векторов, путь, конечное множество абстрактных объектов

P мера. Мотивация - доля успешных экспериментов при бесконечном количестве попыток. Отсюда возникает требование ограниченности нулём и единицей. Мотивация для аддитивности сложнее - для каждого события A мы хотим иметь возможность сказать произошло они или нет. Соответсвенно это должно отображаться в свойстве меры. Если вероятность - это доля успехов, и в каждом из проведённых экспериментов мы можем с уверенностью сказать произошло событие A или нет, то такое событие разбивает эксперименты на две непересекающиеся группы. Группа где мы наблюдали A, и где не наблюдали. Доли этих групп и есть вероятности событий A и A^c и в сумме равны единице. Так как доли вещи положительные, то нет причин не использовать счётную аддитивность (в углу головы затесался факт, что если бесконечный ряд неотрицательный, то его можно суммировать в любом порядке). Такие размышления ведут к аксиомам вероятности. Примеры - мера Лебега, длинна отрезков, доля элементов

\Sigma множество неэлементарных событий. Мотивация - область определения нашей меры. Применение меры на этой области не должно вести к противоречиям. То есть на всех элементах поля мера должна оставаться счётно аддитивной, положительной и суммироваться к единице. Замыкание по дополнению и счётному пересечению - это способ избежать ситуации, когда по правилам вычисления вероятности мы можем вычислить вероятность несуществующего события. То есть если нам даны мера и набор событий, то расширив этот набор до минимальной сигма алгебры мы избегаем парадокстов с несуществующими но "вероятными" событиями. Примеры - борелево множество, множества измеримые по лебегу, показательное множество конечного множества.

\mathbb{X} случайная величина. Мотивация - возможность перевести одно вероятностное пространство в другое. Измеримость функции даёт нам возможность формулировать задачу нахождения вероятности события как в терминах области определения, так и в терминах области значений случайной величины. То есть случайная величина - это такой тунель между двумя вероятностными пространствами. Пример - любая непрерывная функция \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}.

F фильтрация. Мотивация - Когда элементы \Omega сложные, то информация относительно реализации может поступать постепенно. Фильтрация описывает, как в общем ширится наше знание относительно конкретной реализации. Расширяемость означает, что мы не может забывать и обновлять наши знания, что в принципе интуитивно понятно, так как все события в фильтрации либо достоверно случились, либо нет. Пример - к сожалению примеры слишком громоздки.

[PAV]

$\Sigma$ и $P$ нужно поменять местами. Т.е. сначала вводится множество событий, которые должны образовывать сигма-алгебру и для которых мы планируем определить понятие "вероятность". Затем только на этих множествах вводится вероятность.

Я рекомендую не слишком увлекаться мотивациями. Некоторые из них мне кажутся сомнительными.

В частности, я предпочитаю интерпретировать случайную величину не так. Нашей целью не является перевод одного вероятностного пространства в другое. Просто бывают ситуации, когда результат случайного опыта каким-либо образом измеряется или просто переводится в число. Вот отсюда и возникает функция. Например, когда мы бросаем игральную кость, то физически результат случайного опыта связан с кубиком, а не с тем, как на его грани нанесены деления. Деления мы используем лишь чтобы перевести эти исходы в числа.

[ewert]

PAV писал(а):

$\Sigma$ и $P$ нужно поменять местами. Т.е. сначала вводится множество событий, которые должны образовывать сигма-алгебру и для которых мы планируем определить понятие "вероятность". Затем только на этих множествах вводится вероятность.

Я бы всё же возразил. Первичным всё же является некий способ вычисления вероятности. Диктуемый опытом. И уже потом наводится порядок, когда этот способ распространяется на некую $\sigma$-алгебру. Пример с лебеговской мерой вполне типичен. Всем ежам понятно, что объём -- это произведение сторон прямоугольника (соотв. размерности). После чего (именно после) это понятие стандартно расширяется по Каратеодори.

Что касается случайной величины. Обычное формальное определение -- это некая числовая функция на пространстве событий. Определение приятно своей инвариантностью. Но и избыточно -- для случайной величины как таковой вполне достаточно пространством событий считать само числовое множество. Ну или некое многомерное пр-во -- для случайных векторов.

[Henrylee]

ewert писал(а):

Я бы всё же возразил. Первичным всё же является некий способ вычисления вероятности. Диктуемый опытом. И уже потом наводится порядок, когда этот способ распространяется на некую $\sigma$-алгебру.

Причем эта некая $\sigma$-алгебра уже имется (раньше чем мера), разве нет?

ewert писал(а):

Что касается случайной величины. Обычное формальное определение -- это некая числовая функция на пространстве событий. Определение приятно своей инвариантностью. Но и избыточно

(позвольте добавить - слово измеримая) Избыточно, значит? А вспомните определение гауссовской меры на линейном пространстве. И обойдитесь без понятия с.в. как функции.

Добавлено спустя 10 минут 18 секунд:

Re: Повтор

Вообще, рассматривая текст как философский, мне где-то даже понравилось. С мотивациями, конечно, не все так однозначно. Можно покопать еще, раз уж нужно что-то про них написать. А вот это

bubu gaga писал(а):

То есть случайная величина - это такой тунель между двумя вероятностными пространствами. Пример - любая непрерывная функция.

пример не удачный. Про туннель-то еще ладно, хотя это скорее можно говорить об измеримых отображениях, а с.в. как числовые функции все же несут некоторую другую пользу. Но вот про непрерывность это Вы зря. На исходном порстранстве элементарных событий может быть не задано никаких топологий, поэтом понятие непрерывности отсутствует. Поменяйте либо то либо это.

[bubu gaga]

PAV писал(а):

\Sigma и P нужно поменять местами.

В большинстве элементарных задач на вероятность, где омега конечна и даны вероятности элементарных событий, очень трудно оправдать необходимость поля. Теперь я понимаю, что в этом была моя огромная трудность, потому как из таких задач совершенно не следует, что необходима замкнутость и уж тем более по счётным операциям. И когда я читал строгие определения вероятностного пространства для того чтобы потом опять же лишь собирать вероятности событий "по крупинкам", или просто интегрировать плотности распределения, то конечно такие определения я перескакивал.

Причина поместить их в таком порядке была следующая. В определении меры содержится описание процедуры вычисления и например для внешней меры лебега никакого особенного ограничения области определения нет (разве что множеством действительных чисел). Потом появляются трудности с отдельными множествами (пропадает аддитивность) и мы ограничиваемся функциями измеримыми по лебегу. То есть когда всё просто, никакого поля особо и не надо, а сложности возникают, когда уже есть процедура измерения, но она не везде срабатывает.

PAV писал(а):

Просто бывают ситуации, когда результат случайного опыта каким-либо образом измеряется или просто переводится в число. Вот отсюда и возникает функция.

Допустим "в бочке" сидит человек и бросает то ли монетку (1 - орёл, 0 - решка), то ли кость (1 - чётное число, 0 - нечётное) и бросив, говорит нам результат. В этом случае множество элементарных событий состоит их двух элементов и мы например можем оценить вероятности этих событий. Если мы вдруг достоверно узнаем, что бросается именно кубик, то с одной стороны мы получаем более сложную картину процесса "в бочке", а с другой стороны, наши возможность по оценке различных исходов не улучшаются. То есть мы хоть и распространили наши оценки вероятностей на новое вероятностное пространство, но оно в каком-то смысле совершенно эквивалентно старому. И дав такую мотивацию я попытался сказать, что не стоит, переводя задачу из одной формулировки в эквивалентную ожидать, что появится новая информация (интегралы может быть упростятся, но не более).

Примерно так. Спасибо!

Добавлено спустя 12 минут 44 секунды:

Henrylee писал(а):

Можно покопать еще, раз уж нужно что-то про них написать.

Немного оффтоп: это мой небольшой тик, когда я не понимаю почему так, а не по другому, у меня в голове замыкает. Например, когда нам читали лекцию по кваратичным вариациям, то после того как дали определения мне было тяжело вслушиваться, потому что думал, а почему мы не изучаем процессы с конечной кубической вариацией?

Henrylee писал(а):

Поменяйте либо то либо это.

Добавил области определения и значений

Спасибо!