Случайные процессы (винеровский процесс в целых точках)

[Draeden]

Это понятно, однако возникает ещё один вопрос: допустим $f(0)=0,f(m)=d,f(2m)=3d$. По аналогии с предыдущим, получится, что $P\{f(m)-f(0)=d\}=p_m(d)=1$ а также $P\{f(2m)-f(m)=2d\}=p_m(2d)=1$. Но ведь функция $p_m$ - это распределение вероятностей, т.е. $\sum\limits_{d=-\infty}^{+\infty}p_m(d)=1$, а здесь эта сумма уже больше двух...

[Henrylee]

Draeden писал(а):

Это понятно, однако возникает ещё один вопрос: допустим $f(0)=0,f(m)=d,f(2m)=3d$. По аналогии с предыдущим, получится, что $P\{f(m)-f(0)=d\}=p_m(d)=1$ а также $P\{f(2m)-f(m)=2d\}=p_m(2d)=1$. Но ведь функция $p_m$ - это распределение вероятностей, т.е. $\sum\limits_{d=-\infty}^{+\infty}p_m(d)=1$, а здесь эта сумма уже больше двух...

Отсюда вывод:
Не существует однородной марковской цепи, для которой выполняются условия

$$ P\{X_0=0\}=1,\ P\{X_m=d\}=1,\ P\{X_{2m}=3d\}=1 $$

[Draeden]

Эээ... а в книге "Теория случайных процессов" есть т.н. "однородные марковские цепи" ? Но если не сложно, не могли бы вы дать определение этого понятия ?

[Henrylee]

Не помню точно есть там или нет. Но точно есть у Ширяева в "Вероятности".
Определение посмотрите в Википедии, нет смысла его сюда переписывать, а ссылку вставить что-то не получается

Добавлено спустя 10 минут 37 секунд:

По-моему суть вопроса можно сделать прозрачней, обозначив приращения через $\xi_n=f(n)-f(n-1)$. Если договорились считать их независимыми, то значение процесса в точке $m$ это просто сумма независимых случайных величин:

$$ f(m)=\sum\limits_{i=1}^m\xi_i. $$

Очевидно, это марковская цепь, а ее однородность эквивалентна тому, что все $\xi_i$ распределены одинаково.

[Draeden]

Интересно, в чём отличие марковской цепи от винеровского процесса ?

Целевая задача такая: можно ли, глядя на случайный процесс ( марковская цепь к примеру ) до времени $t=0$ сказать, что вероятность дальнейшего хода этого процесса не нормальная ( т.е. не гауссово распределение, а "нечто" с ненулевым мат. ожиданием ) ?

Если нет, то можно ли, глядя на график некоторого процесса ( предположительно неслучайного ), определить, что он неслучаен и узнать в чём именно отличия ( чтобы, опять же, предсказать дальнейший ход ) ?

P.S. Данная задача, как вы наверняка заметили - это формализованная валютная биржа ( а именно небезизвестный форекс ). Дело в том, что методики игры ( издаются в виде книг для широких масс ) на этом рынке откровенно смахивают на шаманство. Может это от того, что нет простой рабочей методики, а может это от того, что эта методика требует неслабых знаний в какой то теории ( например те же винеровские процессы: вряд ли типичный трейдер знает, что такое Ito интеграл ). Было бы интересно создать рабочую методику на базе строгой теории.

Добавлено спустя 4 минуты 56 секунд:

Henrylee писал(а):

По-моему суть вопроса можно сделать прозрачней, обозначив приращения через $\xi_n=f(n)-f(n-1)$. Если договорились считать их независимыми, то значение процесса в точке $m$ это просто сумма независимых случайных величин:

$$ f(m)=\sum\limits_{i=1}^m\xi_i. $$

Очевидно, это марковская цепь, а ее однородность эквивалентна тому, что все $\xi_i$ распределены одинаково.

Да, видимо так. Я загрузил с финама график GBP/USD, затем построил такие разности и нашёл их распределение - выглядит как нормальное.

[Henrylee]

Draeden писал(а):

Интересно, в чём отличие марковской цепи от винеровского процесса ?

Ну цепь есть цепь - пространство состояний дискретно (например, как у Вас, только целые значения). Если говорить о марковских процессах, то винеровский процесс это частный (или специальный) случай.

Draeden писал(а):

Целевая задача такая: можно ли, глядя на случайный процесс ( марковская цепь к примеру ) до времени $t=0$ сказать, что вероятность дальнейшего хода этого процесса не нормальная ( т.е. не гауссово распределение, а "нечто" с ненулевым мат. ожиданием ) ?
Если нет, то можно ли, глядя на график некоторого процесса ( предположительно неслучайного ), определить, что он неслучаен и узнать в чём именно отличия ( чтобы, опять же, предсказать дальнейший ход ) ?

начал было писать ответ, но дочитал до этого места:

Draeden писал(а):

P.S. Данная задача, как вы наверняка заметили - это формализованная валютная биржа ( а именно небезизвестный форекс ). Дело в том, что методики игры ( издаются в виде книг для широких масс ) на этом рынке откровенно смахивают на шаманство. Может это от того, что нет простой рабочей методики, а может это от того, что эта методика требует неслабых знаний в какой то теории ( например те же винеровские процессы: вряд ли типичный трейдер знает, что такое Ito интеграл ). Было бы интересно создать рабочую методику на базе строгой теории.

Э...Что ж Вы сразу с этого не начали (ну точно винеровский процесс.) По финансовой матматике написано много. В частности сам А.Н. Ширяев считается признанным специалистом в этой области. Поэтому на ум приходит его книга "основы стохастической финансовой математики"

Добавлено спустя 8 минут 31 секунду:

Отдельно по поводу шаманства.
Действительно, успешные трейдеры это чаще не те, кто все досконально просчитал, а ... что-то другое у них есть, не только знания. Чутье, бессознательные шаблоны, мало ли.
На ум приходит игра в бридж. Ясно, что стратегия успешного принятия решений в ней основана на том, чтобы в условиях неполноты информации действовать согласно наиболее вероятному раскладу. В действительности за бриджевым столом никто досконально не просчитывает все вероятности и расклады, так как физически не возможно решить десяток даже тривиальных комбинаторных задач за несколько секунд (ну это я про сложные случаи). Но эксперты и гроссмейстеры делают это бессознательно, опыт понимаете ли..

Добавлено спустя 1 час 12 минут 30 секунд:

Кстати в соседней теме
http://dxdy.ru/topic15255.html#132463
Женисбек дает ссылку на книгу, в которой рассмативатся моделирование распределений роста биржевых цен нормальными смесями.

[Draeden]

Итого: лучше изучать последнюю книгу - "основы стохастической финансовой математики" ?

Но прежде чем приступить к изучению "харда", хотелось бы прояснить такую простую вещь ( я этот вопрос уже задавал, но в другой форме ): рассмотрим ту же функцию $f$ ( теперь уже считая её графиком котировок какой нибудь валютной пары ). Пусть $f(m_1)=d_1,f(m_2)=d_2$, т.е. нам известно движение этой функции до точки $m_2$. Теперь возьмём точку $m_3>m_1,m_2$ и сделаем предположение о том, где будет находится функция $f$ в точке $m_3$. С одной стороны, мы можем построить распредение вероятностей $p_{m_3-m_1}$ зная, что $f(m_1)=d_1$. С другой стороны мы можем построить распределение вероятностей $p_{m_3-m_2}$. Оба этих распределения описывают одно и то же - возможные варианты значений $f(m_3)$. Вы показали, что противоречия нет - эти распределения совпадают. Хотя я не могу не согласиться с этим результатом, он мне не нравится: распределение $p_{m_3-m_1}$ имеет пик ( т.е. мат. ожидание ) в $d_1$, т.е. это распределение говорит, что событие $f(m_3)=d_1$ - наиболее вероятно; а вот распределение $p_{m_3-m_2}$ наоборот говорит, что событие $f(m_3)=d_2$ - самое вероятное. И тем не менее противоречия вроде как нет...

[PAV]

Draeden писал(а):

Оба этих распределения описывают одно и то же - возможные варианты значений $f(m_3)$. Вы показали, что противоречия нет - эти распределения совпадают.

Я этот момент как-то пропустил, но это совсем не так. Это два разных распределения и они не обязаны совпадать. Дело в том, что это не безусловные распределения $f(m_3)$, а условные, причем при двух разных условиях: одно - при условии $f(m_1)=d_1$, второе - при условии $f(m_2)=d_2$. Аналогия с обычными вероятностями: $P(A)$, $P(A|B)$ и $P(A|C)$ - это три разных (вообще говоря) величины.

Если я сегодня спрошу, каков будет курс доллара через месяц, 11-го августа, то вероятностный ответ на этот вопрос будет одним (с достаточно широкими возможными пределами изменения). А если я спрошу об этом же 10-го августа, то ответ уже будет гораздо точнее.

Вот если Вы найдете распределение $f(m_3)$ при известном $d_1$, это будет функция от $d_1$, а затем усреднить ее по распределению $d_1$, то тогда получится безусловное распределение $f(m_3)$. Если то же самое проделать для $d_2$, то тогда получится одно и то же.

[Henrylee]

PAV опередил. Действительно, речь шла не ораспределениях а об условных вероятностях. (условие $f(m)=d_1$)

Henrylee писал(а):

Очень просто. При Ваших тебованиях эти вероятности равны ввиду независимости приращений:

$$ 1\cdot p_m(d_2-d_1)=P\{f(m)=d_1\}P\{f(2m)-f(m)=d_2-d_1\}=P\{f(2m)=d_2, f(m)=d_1\}=p_{2m}(d_2) $$

Henrylee писал(а):

Draeden писал(а):

Пусть известно, что $f(m)=d_1 \ne d_2$

я так понял, по предположению это выполняется с вероятностью 1.

[Draeden]

Я тут подумал, а не пытаюсь ли я решить такую задачу: если монету подбросили 99 раз и выпадала только решка, то какова вероятность выпадения решки на 100 разе ? Фактически мне нужно именно это, на форексе только "сторон" у "монеты" больше. Таким образом, теории марковских цепей, винеровских процессов и пр. конструкций с условием "дальнейший ход не зависит от истории" мне не поможет.

Повторюсь с вопросом:

Цитата:

Можно ли, глядя на график некоторого процесса ( предположительно неслучайного ), определить, что он неслучаен и узнать в чём именно отличия ( чтобы, опять же, предсказать дальнейший ход ) ?

К тому же на него пока не ответили