Момент параллельных сил относительно точки

[misha.physics]

Здравствуйте. Читаю в Сивухине о моменте импульса. Есть там такое:

Момент всех действующих сил относительно некоторой точки равен моменту их равнодействующей относительно той же точки. Это справедливо, если линии действия сил пересекаются в одной точке. Это понятно.

Дальше говорится, что это справедливо и для параллельных сил, так как их можно рассматривать как предельный случай пересекающихся сил (в бесконечно удаленной точке). Вот здесь непонятно. Как это понимать?
Я набросал такой случай:



Если принять, что обе силы пересекаются в какой-то точке на бесконечности с радиус-вектором $\vec{r}$, то момент сил относительно этой точки был бы равен:

$$\vec{M}=[\vec{r},\vec{F}_1+\vec{F}_2],$$

но $|\vec{r}|$ равен бесконечности, значит и момент сил обращается в бесконечность. Но это как-то не очень.

-- 03 июл 2018, 09:06 --

Тут возникла идея. Если силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ параллельны, то:

$$\vec{F}_2=\lambda\vec{F}_1,$$

и:

$$\vec{M}=[\vec{r}_1\vec{F}_1]+[\vec{r}_2\vec{F}_2]=[\vec{r}_1\vec{F}_1]+\lambda[\vec{r}_2\vec{F}_1]=[\vec{r}_1+\lambda\vec{r}_2,\vec{F}_1]$$

[se-sss]

Большое $|\vec{r}|$ не означает большого момента, так как важно не растояние, а плечо.

[DimaM]

misha.physics в сообщении #1324123 писал(а):

Дальше говорится, что это справедливо и для параллельных сил, так как их можно рассматривать как предельный случай пересекающихся сил (в бесконечно удаленной точке). Вот здесь непонятно. Как это понимать?

Вот здесь неплохо бы цитату или ссылку на оригинальный текст.

[pogulyat_vyshel]

misha.physics в сообщении #1324123 писал(а):

Здравствуйте. Читаю в Сивухине о моменте импульса. Есть там такое:

Момент всех действующих сил относительно некоторой точки равен моменту их равнодействующей относительно той же точки. Это справедливо, если линии действия сил пересекаются в одной точке. Это понятно.

Дальше говорится, что это справедливо и для параллельных сил

Если силы направлены при этом в одну сторону то -- да, только еще надо понимать к какой точке равнодействующую прикладывать
а например пара сил к равнодействующей не приводится. Подробности вы можете найти в учебнике по теормеху Маркеева в разделе "статика твердого тела"
Однако, я бы вам не советовал забивать голову этой архаикой, она совершенно избыточна и ничего полезного в решение задач не вносит

[Eule_A]

misha.physics
Вы можете прибавить к системе сил уравновешенную систему. Поэтому стандартно делают так: сдвигают для удобства исходные силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ вдоль их линий действия, чтобы начала этих векторов находились на общем перпендикуляре. Затем добавляют две вспомогательные силы $\vec{F}$, $(-\vec{F})$, прикладывая первую к началу вектора $\vec{F_1}$, а вторую - к началу вектора $\vec{F_2}$. Тогда можно сначала сложить $\vec{F_1}+\vec{F}$, $\vec{F_2}-\vec{F}$ - эти силы будут уже сходящиеся. Причём чисто геометрически получите и модуль, и линию действия. Модуль вспомогательной силы роли не играет, естественно. Разве что при построении может неудобства создать. Проведите построение сами - всё увидите.

Метод можно применять и для сил противоположного направления, если только они не равны по модулю (иначе получится пара сил, а с ней разговор особый).

Утверждение о равенстве момента равнодействующей (если она существует) сумме моментов сил по отдельности называется теоремой Вариньона. Если Сивухин не устроит, то по этому названию можно ещё искать.

[misha.physics]

se-sss,

se-sss в сообщении #1324133 писал(а):

Большое $|\vec{r}|$ не означает большого момента, так как важно не растояние, а плечо.

Точно, это я не подумал. Я мыслил о модуле момента сил, но забыл, что там есть ещё синус угла.

DimaM,

DimaM в сообщении #1324136 писал(а):

Вот здесь неплохо бы цитату или ссылку на оригинальный текст.

Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика. — 4-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. - 560 с., параграф 30, стр. 177.
Я практически написал так, как было в книге, разве что из контекста может быть немного вырвал.

pogulyat_vyshel,

pogulyat_vyshel в сообщении #1324152 писал(а):

только еще надо понимать к какой точке равнодействующую прикладывать

Это точно.

Eule_A,

Eule_A в сообщении #1324172 писал(а):

Тогда можно сначала сложить $\vec{F_1}+\vec{F}$, $\vec{F_2}-\vec{F}$ - эти силы будут уже сходящиеся.

Интересно с этими вспомогательными силами. Как я понял, сила $\vec{F}$ не должна быть коллинеарна $\vec{F}_1$ (и $\vec{F}_2$, поэтому). Пока не очень понятно. Может, когда-то разберусь с этим. А о этих вспомогательных силах можно где-то почитать?

[pogulyat_vyshel]

Такую банальную задачу могли бы решить и сами.

И так пусть $\boldsymbol F_i=F_i\boldsymbol e$ -- силы, приложенные в точках с радиус-векторами $\boldsymbol r_i$ и пусть $\sum F_i\ne 0$.
Докажите, что

$$\sum[\boldsymbol r_i,\boldsymbol F_i]=[\boldsymbol r_*,\boldsymbol F],$$

где

$$\boldsymbol r_*=\frac{\sum F_i\boldsymbol r_i}{\sum F_i},\quad \boldsymbol F=\sum \boldsymbol F_i$$

[Eule_A]

misha.physics в сообщении #1324201 писал(а):

Как я понял, сила $\vec{F}$ не должна быть коллинеарна $\vec{F}_1$ (и $\vec{F}_2$, поэтому).

Не должна. Обычно для простоты её выбирают ортогональной линии действия исходных сил. Сложного в этом ничего нет - попробуйте сделать чертёж. Это займёт не более пяти минут, но станет всё предельно прозрачно. И это будет гораздо лучше, чем если Вы тот же чертёж готовым увидите в книге. Собственно, кроме чертежа там и нет почти ничего. Только расчёт величины результирующей силы (но это и так очевидно, просто формальное доказательство проводится) и вычисление её линии действия, а это вообще на основе элементарной геометрии делается.

Замечу ещё в скобках, что таким же методом складываются вращения вокруг параллельных осей.

[misha.physics]

Eule_A,

Eule_A в сообщении #1324215 писал(а):

Сложного в этом ничего нет - попробуйте сделать чертёж.

Да, я набросал чертеж ещё до написания того сообщения. Из чертежа я и сделал вывод, что сила $\vec{F}$ не должна быть коллинеарна $\vec{F}_1$, например. Иначе все останется "как прежде".

pogulyat_vyshel,

pogulyat_vyshel в сообщении #1324212 писал(а):

Докажите, что

Пока не получается. Я сначала захотел проверить эти формулы для случая двух сил, но справа возникают слагаемые типа $[\vec{r}_1,\vec{F}_2]$ и $[\vec{r}_2,\vec{F}_1]$, а слева есть только $[\vec{r}_1,\vec{F}_1]+[\vec{r}_2,\vec{F}_2]$.

[pogulyat_vyshel]

Eule_A в сообщении #1324215 писал(а):

Замечу ещё в скобках, что таким же методом складываются вращения вокруг параллельных осей.

Я ,конечно, дико извиняюсь, но теорема сложения угловых скоростей не имеет к данной теме ни малейшего касательства, ни в каком виде.

[misha.physics]

Все-таки эта динамика вращательного движения довольно специфическая. Мне почему-то кажется, что её сложнее понять,чем ту обычную "динамику", в которой нет моментов сил, моментов импульса, моментов инерции.