двойственные переменные

[Andrey_Kireew]

Помогите пожалуйста разобраться с задачей линейного программирования. Возникает какая то путаница, и не могу понять в чём дело.
Есть следующая ЗЛП:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} X\cdot b + I\cdot e^+ -I \cdot e^-=u& \\ c'\cdot b + 1'\cdot e^+\to min& \\ b\geqslant 0, e^+\geqslant0, e^-\geqslant 0\\ \end{array} \right.$$

где $b$, $e^+$, $e^-$ - векторы, с положительными элементами, $c$ - вектор произвольных вещественных коэффициентов, $I$ - единичная матрица, $1'$ - строка из единиц.

Двойственная ей задача имеет вид:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} X'\cdot a \leqslant c \\ a\leqslant 1 \\ a\geqslant 0 \\ u'a\to max \\ \end{array} \right.$$

После решения основной задачи, не совсем понятно, где в решении находятся двойственные переменные $a$.
Казалось бы, в строке функционала, под переменными $e^-$, там где в исходной таблице были нули.
Но $e^-$ нельзя рассматривать как дополнительные переменные задачи, на месте которых получается двойственное решение, так как в исходной задаче перед ними стоят коэффициенты "-1", а не "1".

Можно всё привести в соответствие и всю матрицу ограничений домножить на "-1". Тогда исходная задача

$$\left\{ \begin{array}{rcl} -X\cdot b - I\cdot e^++I \cdot e^-=-u& \\ c'\cdot b + 1'\cdot e^+\to min& \\ b\geqslant 0, e^+\geqslant0, e^-\geqslant 0\\ \end{array} \right.$$

двойственная ей задача

$$\left\{ \begin{array}{rcl} -X'\cdot a^* \leqslant c \\ -a^*\leqslant 1 \to a^*\geqslant -1\\ a^*\leqslant 0 \\ -u'a^*\to max \\ \end{array} \right.$$

где $a^*$- это уже другие двойственные переменные, причём $a^*=-a$.

Теперь всё как положено. Получается, что на месте переменных $e^-$ после оптимизации симплекс-таблицы будут значения двойственных переменных $a^*$.

Но, при достижении оптимального решения, в задаче на минимум, все элементы строки функционала будут положительными, это собственно и есть признак достижения оптимального решения. В то время как $a^*$ ограничены, $-1\leqslant a^* \leqslant 0$, и они не могут быть положительными. Равно как $a$ не могут быть отрицательными.

В чём здесь ошибка?

[Andrey_Kireew]

Сейчас всё перепроверил, посмотрел в литературе, получается - двойственная задача составлена правильно.
Смотрел примеры в сети, правда для других задач, в них двойственные переменные почему то получаются как я и думал, на месте дополнительных переменных.