Формулировка теоремы Зейферта - ван Кампена

[npetric]

В учебнике Масси, Столлингса "Алгебраическая топология. Введение" приводится следующая формулировка.

Пусть выполнены условия:
1) $X$ -- линейно связное пространство и $x_0 \in X$
2) $\{ U_\lambda \} $ -- покрытие $X$ линейно связными открытыми множествами, замкнутое относительно конечных пересечений
3) $\forall \lambda, x_0 \in U_\lambda$

Обозначим через $\varphi_{\lambda \mu}$ гомоморфизмы фундаментальных групп, индуцированные включениями $U_\lambda \rightarrow U_\mu$, $\psi_\lambda$ -- включениями $U_\lambda \rightarrow X$.

Пусть для некоторой группы $H$ и некоторых гомоморфизмов $\{\rho_\lambda\}$ выполнено следующее условие:
Для любой пары $(\lambda, \mu): U_\lambda \subset U_\mu$ коммутативна диаграмма:
$\xymatrix{ \pi(U_\lambda) \ar[rd]^{\rho_\lambda} \ar[dd]^{\varphi_{\lambda \mu}}&\\ & H\\ \pi(U_\mu) \ar[ru]^{\rho_\mu} }$

Тогда существует единственный гомоморфизм $\sigma: \pi(X) \rightarrow H$, делающий каждую следующую диаграмму коммутативной:
$\xymatrix{ & \pi(X) \ar[dd]^{\sigma}\\ \pi(U_\lambda) \ar[ur]^{\psi_\lambda} \ar[rd]^{\rho_\lambda}&\\ & H }$

Кроме того, это условие универсального отображения характеризует $\pi(X)$ с точностью до единственного изоморфизма

Всё понятно, кроме последней фразы -- и её доказательство, как назло, оставлено читателю.

Ранее в этой же книге рассматривались свободные группы и свободные произведения групп, там была, как мне кажется, похожая ситуация: пусть есть некоторая характеристика объекта (коммутативность диаграмм с использованием объекта, существования и единственности гомоморфизмов, ...), то множество объектов, обладающими данной характеристикой, исчерпывается изоморфными образами единственного объекта.

Например, если назвать свободным произведением двух групп некоторую группу, для которой существует единственный гомоморфизм, делающий некоторые диаграммы коммутативными (определение через копроизведение), то окажется, что любые две такие группы изоморфны.

Как понимать последнее утверждение теоремы в данном случае?
Правильно ли я понимаю, что оно звучит примерно так:
(Т1) Используем только вторую диаграмму и заменяем в ней $\pi(X)$ на произвольную группу $G$, $\psi_\lambda$ на $\psi'_\lambda: \pi(U_\lambda) \rightarrow G$, и говорим, что для любого набора $\{\rho_\lambda\}$, удовлетворяющего верхней диаграмме, нижняя диаграмма коммутативна для некоторого единственного $\sigma'$, и тогда $G \simeq \pi(X)$.

И доказательство тогда, предположительно, использует в том числе следующую диаграмму (3):
$\xymatrix{ & \pi(X) \ar[dd]^{\sigma}\\ \pi(U_\lambda) \ar[ur]^{\psi_\lambda} \ar[rd]^{\psi'_\lambda} \ar[d]^{\psi_\lambda}&\\ \pi(X) & G \ar[l]^{\sigma'} }$

Ясно, что если взять $H = \pi(X)$, $\rho_\lambda = \psi_\lambda$, то верхняя диаграмма будет коммутативна -- то есть, юго-западная часть диаграммы (3) коммутативна. А что с северо-восточной? Мы ведь не можем в общем случае утверждать, наверное, что при $H=G, \rho_\lambda = \psi'_\lambda$ верхняя диаграмма будет коммутативной. Получается, нужно в (T1), помимо прочего, требовать от $G, \psi'_\lambda$ и это?

Тогда мы получим, используя единственность, $\sigma' \circ \sigma = id_{\pi(X)}$, и, рассмотрев аналогичную, $\sigma \circ \sigma' = id_{G}$

[iou]

Правильно его понимать так: каждое покрытие $\mathfrak{U}$, которое замкнуто относительно конечных пересечений, можно рассматривать в качестве категории, объекты которой это элементы покрытия, а стрелки это включения. Эта категория вместе с функтором взятия фундаментальной группы задаёт некоторую диаграмму в категории групп. И утверждение теоремы в том, что фундаментальная группа пространства $X$ является копределом построенной диаграммы, то есть:

$$\pi_1 (X) = \text{colim}\limits_{U \in \mathfrak{U}} \pi_1 (U)$$

npetric в сообщении #1322772 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что оно звучит примерно так:
(Т1) Используем только вторую диаграмму и заменяем в ней $\pi(X)$ на произвольную группу $G$, $\psi_\lambda$ на $\psi'_\lambda: \pi(U_\lambda) \rightarrow G$, и говорим, что для любого набора $\{\rho_\lambda\}$, удовлетворяющего верхней диаграмме, нижняя диаграмма коммутативна для некоторого единственного $\sigma'$, и тогда $G \simeq \pi(X)$.

Да, только $\psi'_\lambda$ должны быть согласованы с $\varphi_{\lambda \mu}.$

[Slav-27]

npetric в сообщении #1322772 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что оно звучит примерно так:

Вроде бы правильно -- если учесть ваше замечание в конце, что

npetric в сообщении #1322772 писал(а):

нужно в (T1), помимо прочего, требовать от $G, \psi'_\lambda$ и это.

Написали, однако, довольно плохо ("гомоморфизмы, удовлетворяющие диаграмме" и т. д.). Сейчас попробую исправить, сравните.

npetric в сообщении #1322772 писал(а):

(Т1) Используем только вторую диаграмму и заменяем в ней $\pi(X)$ на произвольную группу $G$, $\psi_\lambda$ на $\psi'_\lambda: \pi(U_\lambda) \rightarrow G$, и говорим, что для любого набора $\{\rho_\lambda\}$, удовлетворяющего верхней диаграмме, нижняя диаграмма коммутативна для некоторого единственного $\sigma'$, и тогда $G \simeq \pi(X)$.

А вот я исправил писал(а):

(Т1) Предположим, что задана некая группа $G$ и для каждого $\lambda$ задан гомоморфизм групп $\psi'_\lambda: \pi(U_\lambda) \rightarrow G$.

Предположим ещё, что выполнены следующие 2 условия:

------------------------------

1. Для любой пары $(\lambda, \mu)$, такой что $U_\lambda \subset U_\mu$, коммутативна диаграмма
   $\xymatrix{ \pi(U_\lambda) \ar[rd]^{\psi'_\lambda} \ar[dd]^{\varphi_{\lambda \mu}}&\\ & G\\ \pi(U_\mu) \ar[ru]^{\psi'_\mu} }$
   ------------------------------
   
2. Пусть для некоторой группы $H$ и некоторых гомоморфизмов $\{\rho_\lambda\}$ выполнено следующее условие:
   Для любой пары $(\lambda, \mu): U_\lambda \subset U_\mu$ коммутативна диаграмма
   $\xymatrix{ \pi(U_\lambda) \ar[rd]^{\rho_\lambda} \ar[dd]^{\varphi_{\lambda \mu}}&\\ & H\\ \pi(U_\mu) \ar[ru]^{\rho_\mu} }$
   
   Тогда существует единственный гомоморфизм $\sigma': G \rightarrow H$, делающий каждую следующую диаграмму коммутативной:
   $\xymatrix{ & G \ar[dd]^{\sigma'}\\ \pi(U_\lambda) \ar[ur]^{\psi'_\lambda} \ar[rd]^{\rho_\lambda}&\\ & H }$.
   ------------------------------

Если выполнены эти 2 условия, то $\pi(x)$ и $G$ изоморфны.

-----------------------------------------------------------

Понять смысл всего этого в таком виде, по-моему, чрезвычайно трудно.

Всё, что я написал в рамке выше до фразы "если выполнены эти 2 условия" -- это определение копредела, а утверждение, которое вызвало у вас затруднение -- утверждение о единственности копредела. То есть там написано, что $\pi(X)$ есть копредел групп $\pi(U_\lambda)$ (рассматриваемых вместе с гомоморфизмами $\varphi_{\lambda\mu}$), или, формулой, $\pi(X)=\underset{\lambda}{\varinjlim}\;\pi(U_\lambda)$. Советую почитать про пределы; сюда это ничего нового не добавит, но пределы встречаются много где, и если вы их поймёте, то не придётся каждый раз вдумываться в вот такой длинный текст.

-- 26.06.2018, 22:59 --

(Оффтоп)

Ну вот, пока я писал, уже ответили.

[npetric]

iou, Slav-27
Спасибо огромное за детальные ответы! Буду потихоньку разбираться с теорией категорий