2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Не могу доказать одно неравенство со степенями
Сообщение21.06.2018, 18:56 


12/11/13
78
Добрый день!
У меня есть две переменных, $x_1$ и $x_2$, обе переменные скалярные действительные. Есть составленный из них вектор $x:=[x_1,\;x_2]^\top$. В одной статье я встретил неравенство вида
$$
x_1^4+x_2^2 \ge \frac{1}{4}|x|^{1+\frac{1}{|x|}},
$$
и я не могу понять, как они его получили. Для скаляров легко показать, что
$$
x_1^4 \ge \frac{1}{4}|x_1|^{1+\frac{1}{|x_1|}}
\quad \text{ и } \quad 
x_2^2 \ge \frac{1}{4}|x_2|^{1+\frac{1}{|x_2|}}.
$$
Но как от этого перейти к сумме?

Например, если $x_1^2>1$, то $x_1^4+x_2^2 \ge x_1^2+x_2^2 = |x|^2 \ge \frac{1}{4}|x|^{1+\frac{1}{|x|}}$. Но не получилось пока расписать для случая $x_1^2<1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу доказать одно неравенство со степенями
Сообщение21.06.2018, 19:12 


21/05/16
4292
Аделаида
А неравенство Коши здесь не поможет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу доказать одно неравенство со степенями
Сообщение21.06.2018, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
А какой x справа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу доказать одно неравенство со степенями
Сообщение21.06.2018, 19:22 


12/11/13
78
Евгений Машеров в сообщении #1321588 писал(а):
А какой x справа?

Если вы про неравенство
$$
x_1^4+x_2^2 \ge \frac{1}{4}|x|^{1+\frac{1}{|x|}},
$$
то справа это модуль вектора, т.е. $|x| = \sqrt{x_1^2+x_2^2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу доказать одно неравенство со степенями
Сообщение21.06.2018, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Arastas в сообщении #1321581 писал(а):
Для скаляров легко показать, что
$$
x_1^4 \ge \frac{1}{4}|x_1|^{1+\frac{1}{|x_1|}}
\quad \text{ и } \quad 
x_2^2 \ge \frac{1}{4}|x_2|^{1+\frac{1}{|x_2|}}.
$$
А не слишком ли легко? Второе неравенство без коэффициента 1/4 доказать не получится? Да и первое наверняка верно с бОльшим.

(Просто мысли вслух, я не думал, что с этим дальше делать.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу доказать одно неравенство со степенями
Сообщение21.06.2018, 21:52 


12/11/13
78
grizzly в сообщении #1321593 писал(а):
Второе неравенство без коэффициента 1/4 доказать не получится? Да и первое наверняка верно с бОльшим.


Для четвертой степени там вместо $\frac{1}{4}$ можно поставить примерно $\frac{1}{2.1}$. Для квадрата можно вообще поставить единицу и меньше. На самом деле, для основного результата достаточно, чтобы вместо $\frac{1}{4}$ там была любая положительная константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу доказать одно неравенство со степенями
Сообщение22.06.2018, 08:37 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Обозначу через $x$ то, что Вы обозначаете $|x|$. Введём функцию
$f(x)=\min\limits_{x_1^2+x_2^2=x^2} (x_1^4+x_2^2)=\begin{cases}x^4,&0\leqslant x\leqslant \frac 1 {\sqrt{2}}\\x^2-\frac 1 4,& x\geqslant \frac 1 {\sqrt{2}}\end{cases}$
Ваше неравенство следует из более простого (потому что одна переменная)
$f(x)\geqslant \frac 1 4 x^{1+\frac 1 x},\quad x>0$
На глазок в его справедливости можно убедиться, построив графики.

(Arastas)


 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу доказать одно неравенство со степенями
Сообщение22.06.2018, 12:04 


12/11/13
78
svv в сообщении #1321698 писал(а):
Введём функцию
$f(x)=\min\limits_{x_1^2+x_2^2=x^2} (x_1^4+x_2^2)=\begin{cases}x^4,&0\leqslant x\leqslant \frac 1 {\sqrt{2}}\\x^2-\frac 1 4,& x\geqslant \frac 1 {\sqrt{2}}\end{cases}$
Ваше неравенство следует из более простого (потому что одна переменная)
$f(x)\geqslant \frac 1 4 x^{1+\frac 1 x},\quad x>0$


Да, спасибо, то что надо! Неравенство для $x^4$ уже есть, а для $x^2-\frac{1}{4}$ спокойно доказывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу доказать одно неравенство со степенями
Сообщение22.06.2018, 16:49 
Заблокирован


16/04/18

1129
Arastas - а в какой статье было это неравенство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу доказать одно неравенство со степенями
Сообщение22.06.2018, 17:04 


12/11/13
78
novichok2018 в сообщении #1321823 писал(а):
Arastas - а в какой статье было это неравенство?

Это Wossvinkel 2018 "Input-to-State Stability Mapping for Nonlinear Control Systems Using Quantifier Elimination". Там статья не об этом, и неравенство между делом упоминается в одном из примеров, и глаз зацепился, что оно не столь очевидно (для меня), как пишут авторы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group