Преобразование Фурье решетчатой функции

[podalirius]

Помогите разобраться с такой проблемой.

Пусть дана решетчатая функция
$III(t)={\sum_{n=-\infty}^{\infty}}\delta(t-n)$
Где $\delta(t)$ дельта функция Дирака, которая равна бесконечности в нуле и нулю при t не равном нулю.
При этом
$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1$

И кроме того справедливо следующее свойство
$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-u)dt=x(u)$.

Тогда используя данные свойства дельта функции можно получить ее преобразование фурье:

$\Delta(w)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\exp(-jwt)dt=\exp(-jw0)=1. $

Теперь я пробую найти преобразование Фурье решетчатой функции


$III(w)=\int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n) \exp(-jwt)dt= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\exp(-jwn) $

Получилась сумма комплексных экспонент. Можно заметить, что при $w=2\pi m$ где m целое, сумма комплексных экспонент равна бесконечности.

При этом интуитивно можно предположить, что при остальных омега сумма сходится к нулю.
Но я не знаю как это доказать. Может кто поможет?

PS данное свойство из книги Bracewell fourier transform and its application. Но без доказательства.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: тематика

[thething]

podalirius
Посмотрите ядро Дирихле

[Vince Diesel]

Это формула суммирования Пуассона. В смысле обобщенных функций сходится к нулю при $\omega$ не кратном $2\pi$. Поточеной сходимости нет, конечно.

[podalirius]

Я нашел такой подход.

1) поскольку решетчатая функция периодическая, то ее можно представить рядом Фурье, тогда
$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} D_n \cdot \exp(j n\Omega t) $
где $\Omega = 2\pi / T$ а коэффициенты разложения равны (с учетом фильтрующего свойства):

$D_n = \frac{1}{T} \int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) \cdot \exp(-j n \Omega t) dt = \frac{1}{T} $

Тогда подставив значения $D_n = 1/T$ получим равенство:

$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) = \frac{1}{T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \exp(j n\Omega t) = \frac{1}{T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \exp(-j n\Omega t) $

Что и требовалось доказать.