2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Преобразование Фурье решетчатой функции
Сообщение21.06.2018, 14:58 


02/06/18
11
Помогите разобраться с такой проблемой.

Пусть дана решетчатая функция
$III(t)={\sum_{n=-\infty}^{\infty}}\delta(t-n)$
Где $\delta(t)$ дельта функция Дирака, которая равна бесконечности в нуле и нулю при t не равном нулю.
При этом
$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1$

И кроме того справедливо следующее свойство
$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-u)dt=x(u)$.

Тогда используя данные свойства дельта функции можно получить ее преобразование фурье:

$\Delta(w)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\exp(-jwt)dt=\exp(-jw0)=1. $

Теперь я пробую найти преобразование Фурье решетчатой функции


$III(w)=\int_{-\infty}^{\infty}  \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n) \exp(-jwt)dt=  \sum_{n=-\infty}^{\infty}\exp(-jwn) $

Получилась сумма комплексных экспонент. Можно заметить, что при $w=2\pi m$ где m целое, сумма комплексных экспонент равна бесконечности.

При этом интуитивно можно предположить, что при остальных омега сумма сходится к нулю.
Но я не знаю как это доказать. Может кто поможет?

PS данное свойство из книги Bracewell fourier transform and its application. Но без доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.06.2018, 16:53 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
 i  Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: тематика

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье решетчатой функции
Сообщение21.06.2018, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
podalirius
Посмотрите ядро Дирихле

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье решетчатой функции
Сообщение21.06.2018, 17:37 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Это формула суммирования Пуассона. В смысле обобщенных функций сходится к нулю при $\omega$ не кратном $2\pi$. Поточеной сходимости нет, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье решетчатой функции
Сообщение23.06.2018, 19:36 


02/06/18
11
Я нашел такой подход.

1) поскольку решетчатая функция периодическая, то ее можно представить рядом Фурье, тогда
$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) =  \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} D_n \cdot \exp(j n\Omega t) $
где $\Omega = 2\pi / T$ а коэффициенты разложения равны (с учетом фильтрующего свойства):

$D_n = \frac{1}{T} \int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) \cdot \exp(-j n \Omega t) dt = \frac{1}{T} $

Тогда подставив значения $D_n = 1/T$ получим равенство:

$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) =  \frac{1}{T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \exp(j n\Omega t)  = \frac{1}{T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \exp(-j n\Omega t) $

Что и требовалось доказать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group