Задача Больца

[Miracle5]

Задача Больца:
$\int_{1}^{2} t^{2} \dot{x}^{2}dt-2x(1)+x^{2}(2)\rightarrow extr$

Мое решение:
Уравнение Эйлера-Лагранжа
$F= t^{2} \dot{x}^{2}$
$F_{x} = 0$
${F}'_{\dot{x}} = 2 t^{2} \dot{x}$
$\frac{d}{dt} {F}'_{\dot{x}} = 2 t^{2} \ddot{x} + 4t\dot{x}$
$2 t^{2} \ddot{x} + 4t\dot{x} = 0$
$\ddot{x} = - \frac{2}{t} \dot{x}$
$\dot{x}(t) = C_{1} e^{\int \frac{2dt}{t}} = \frac{C_{1}}{t^{2}}$
$x(t) = \int \frac{C_{1}dt}{t^{2}} = \frac{C_{1}}{t}+C_{2}$

Терминаль: $-2a+b^{2}$
Условие трансверсальности:
$F_{\dot{x}} \mid_{t=1} = \l_{x(1)} $
$F_{\dot{x}} \mid_{t=2} = - \l_{x(2)} $
$\left\{\begin{matrix} 2 t^{2} \dot{x} \mid_{t=1} =2\dot{x}(1)=2 C_{1}\\ 2 t^{2} \dot{x} \mid_{t=2} =8\dot{x}(1)=2 C_{1} \end{matrix}\right.$
$\l_{x(1)} = -2$
$-\l_{x(2)} = -2x(2)=-2\left ( -\frac{C_{1}}{2} + C_{2} \right) = C_{1} - 2 C_{2}$
$\left\{\begin{matrix} 2 C_{1}=-2\\ 2 C_{1} = C_{1} -2C_{2} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} C_{1}=-1\\ C_{2}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$
$x(t)=-\frac{C_{1}}{t}+C_{2}=\frac{1}{t}+\frac{1}{2}$

Верное ли решение? Проверьте пожалуйста.

[thething]

Ответ верный, хотя по решению идут опечатки в знаках перед константами (сперва перед $C_1$ стоит плюс, а в конце -- уже минус).

Уравнение Эйлера можно было решить проще: из $\frac{d}{dt}F_{\dot{x}}=0$ следует, что $F_{\dot{x}}=C$. Условия трансверсальности тоже проще применять последовательно, а не составлять систему уравнений.

[Miracle5]

thething
У меня как раз таки вопрос был, как можно такое решение другим способом получить?
$\dot{x}(t) = C_{1} e^{\int \frac{2dt}{t}} = \frac{C_{1}}{t^{2}}$
$x(t) = \int \frac{C_{1}dt}{t^{2}} = \frac{C_{1}}{t}+C_{2}$