Теория вероятности (начальный уровень)

[Insearch]

Подскажите как решаются такого рода задачи.

При каждой встрече Ваня дает Маше яблоко с вероятностью 0,5, грушу — с вероятностью 0,3, апельсин — с вероятностью 0,2. Ваня и Маша встретились за день 3 раза. С какой вероятностью Маша получит апельсин?

Есть предположение что здесь нужно использовать формулу Байеса.

[sergey1]

Уточните, получит ровно один или хотя бы один?

Формула Байеса не нужна в обоих случаях.

[PAV]

Посчитайте вероятность противоположного события.

[ewert]

sergey1 писал(а):

Уточните, получит ровно один или хотя бы один?

Кстати, да. Вообще-то по умолчанию в таких задачах предполагается "получит хоть один", но тут ещё и не уточнено -- получает ли дама киви взаимоисключающе от дынь, или независимо от них. Вроде по цифиркам получается альтернативность, но прямым текстом это не сказано. Короче: формулировка задачи -- совершенно идиотская.

В любом случае: переходить надо, воистину, к противоположному событию -- и все фрукты, кроме интересующих, гордо игнорировать.

[Insearch]

Цитата:

Уточните, получит ровно один или хотя бы один?

Я полагаю, что хотябы один.

Тогда, ответом будет сумма вероятностей получения одного, двух и трех апельсинов за три встречи.

Повотрение эксперимента наводит на мысль о биномиальном распределении...

Цитата:

Посчитайте вероятность противоположного события.

Тогда, вероятность получения апельсина за одну встречу: 0.2 а вероятность получить вместо него яблоко или грушу: 0.5+0.3=0.8. Таким образом, мы нашли вероятности успеха и неудачи в эксперименте (0.2+0.8=1).

Теперь остается вычислить и сложить вероятность трех, удовлетворяющих условию задачи, исходов: один, два и три успеха в трех проведенных экспериментах.

По формуле Бернулли, вероятность $k успехов в $n экспериментах равна: $P=C_n^k * p^k * q^(^n^-^k^), где $C_n^k - сочетание из $n по $k, $p и $q - вероятности успеха и неудачи соответственно.

Тогда, ответом будет $P=C_3^10.2^10.8^2 + C_3^20.2^20.8^1 + C_3^30.2^30.8^0 = 0.384 + 0.096 + 0.008 = 0.488.

Так?

[PAV]

В принципе правильно (в том смысле, что так решать можно), но следует решать не так. Для трех испытаний это еще сойдет, но если их будет десяток - считать замучаетесь.

Смотрите. Противоположным событием к указанному является то, что во всех встречах Маша получит не-апельсин. Вероятность получения не-апельсина в одной встрече равна 0.8. Поскольку результаты встреч предполагаются независимыми, то вероятности получения не-апельсина в последовательных встречах следует перемножать. Итак, если у нас есть $n$ встреч, то вероятность того, что Маша не получит ни одного апельсина, равна $0.8^n$. А, соответственно, вероятность получения хотя бы одного апельсина равна $1-0.8^n$. Подставьте $n=3$ и проверьте свой ответ.

[Someone]

Как-то странно Вы сложили... У Вас калькулятор впорядке?

А вообще, проще так:

PAV писал(а):

Посчитайте вероятность противоположного события.

[ewert]

да никакое там не биномиальное. Если Маше каждый раз обломится с вероятностью 0.2, то за три раза ей ни разу не не обломится с вероятностью ровно $0.8^3=0.512$. Соотв., хоть раз посчастливится ей с вероятностью 0.488. Вот и всё.

[Insearch]

Цитата:

Как-то странно Вы сложили... У Вас калькулятор впорядке?

Да, действительно в сумме $0.488 получается, поправил и с $1 - 0.8^3 прекрасно сходиться.

Огромное спасибо за ответы!

[PAV]

ewert писал(а):

да никакое там не биномиальное

Вообще-то все равно биномиальное

[ewert]

PAV писал(а):

Вообще-то все равно биномиальное

но уж настолько частный случай, что как-то даже и стыдно об этом говорить

[Henrylee]

ewert писал(а):

PAV писал(а):

Вообще-то все равно биномиальное

но уж настолько частный случай, что как-то даже и стыдно об этом говорить

Ну само собой. Схемой Бернулли это безобразие тоже назвать язык не поворачивается - как можно подозревать Бернулли в таком хулиганском поведении - фруктами разбрасываться, нет, решительно нет.