Можно ли расставить по кругу 7 попарно различных...?

[Ktina]

а) Можно ли расставить по кругу 7 попарно различных вещественных чисел так, чтобы сумма каких-то трёх расположенных подряд чисел была равна 1, каких-то трёх подряд расположенных — 2, ..., каких-то трёх подряд расположенных — 7?

б) Можно ли расставить по кругу 8 попарно различных вещественных чисел так, чтобы сумма каких-то трёх расположенных подряд чисел была равна 1, каких-то трёх подряд расположенных — 2, ..., каких-то трёх подряд расположенных — 8?

[gris]

Для семи даже и по порядку:$(7/3, 1/3, -5/3, 10/3, 4/3, -2/3, 13/3)$
Для шести и восьми Крамер ругается. Но надо подумать.
Для шести видно решение: $(1,6,-4,0,5,-1)$
Ну и для восьми: $(0,3,-2,1,4,-1,2,5)$
Я вижу две загадочности. Если потребовать, чтобы соответствующие тройки шли подряд, то для шести нет решения. Если потребовать, чтобы числа были целыми, то нет решений для четырёх и семи по причине суммы всех чисел.

[Ktina]

gris
Большое спасибо!

[gris]

Загадка интересна выходом в алгебру. Собственно, это система линейных уравнений $AX=B$ с матрицей $A$ определённого вида. Если определитель матрицы отличен от нуля, то решение есть для каждого вектора $B$. Если матрица сингулярная, то решений может быть бесконечно много или вообще ноль. В любом случае встаёт вопрос о попарном различии. То есть существовании решений с повторами, если, скажем, все элементы $B$ различны. Разумеется, в загадке возможны напрашивающиеся обобщения. Например, на замену троек на двойки, четвёрки.