Студент перепутал...

[Ktina]

Одного студента на экзамене попросили дать определение равномерной непрерывности. Точнее, определение функции, равномерно непрерывной на некотором множестве $M$.
Однако у студента была каша (а может, Маша?) в голове, поэтому вместо

$$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr)$$

Он написал следующее:

$$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \varepsilon \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \delta\bigr)$$

Чем отличается его определение от классического? Приведите пример функции, удовлетворяющей классическому определению, но не удовлетворяющей определению этого студента. А наоборот?

[worm2]

Второму определению удовлетворяет любая ограниченная на $M$ функция. Так что наоборот — легко.
А вот в прямую сторону уже интереснее.
Если, например, $M=\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} [2n-1, 2n]$, то функцию $f$ можно определить на $M$ таким образом: она кусочно-постоянная, на каждом отрезке $[2n-1, 2n]$ равна $n^2$. Функция будет равномерно непрерывна на $M$: для любого $\varepsilon$ достаточно будет взять $\delta = 0.5$. Но вот "определению студента" она не будет удовлетворять: для $\varepsilon=2.001$ разность $f(2(n+1)-0.5)-f(2n-0.5)$ будет неограниченно возрастать с ростом $n$. Если $M$ — связное множество (или состоит из конечного числа компонент связности), то такого примера уже не получится привести, и равномерно непрерывная на таком множестве функция будет равномерно непрерывной и "по студенту".

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: тематика.

[Ktina]

worm2
Большое спасибо!

[mihaild]

worm2 в сообщении #1318184 писал(а):

Если $M$ — связное множество (или состоит из конечного числа компонент связности), то такого примера уже не получится привести

Кажется что получится. Возьмем на плоскости два параллельных луча: $y = 0, x \in [0; \infty)$, $y = 1, x \in [0; \infty)$ и соединим их отрезком $x = 0, y \in [0; 1]$. На нижнем луче и отрезке определим функцию как $f(x, y) = 0$, на верхнем как $f(x, y) = x$. Функция равномерно непрерывна, но не удовлетворяет определению студента при $\varepsilon > 1$.

-- 08.06.2018, 23:43 --

На прямой это правда, т.к. там от одной точки связного множества на ограниченном расстоянии друг от друга всегда можно дойти ограниченным числом шагов длины $\varepsilon$, наступая только на точки множества.