2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Студент перепутал...
Сообщение08.06.2018, 09:32 
Аватара пользователя


01/12/11
8351
Одного студента на экзамене попросили дать определение равномерной непрерывности. Точнее, определение функции, равномерно непрерывной на некотором множестве $M$.
Однако у студента была каша (а может, Маша?) в голове, поэтому вместо
$$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr)$$
Он написал следующее:
$$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \varepsilon \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \delta\bigr)$$
Чем отличается его определение от классического? Приведите пример функции, удовлетворяющей классическому определению, но не удовлетворяющей определению этого студента. А наоборот?

 Профиль  
                  
 
 Re: Студент перепутал...
Сообщение08.06.2018, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2538
Уфа
Второму определению удовлетворяет любая ограниченная на $M$ функция. Так что наоборот — легко.
А вот в прямую сторону уже интереснее.
Если, например, $M=\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} [2n-1, 2n]$, то функцию $f$ можно определить на $M$ таким образом: она кусочно-постоянная, на каждом отрезке $[2n-1, 2n]$ равна $n^2$. Функция будет равномерно непрерывна на $M$: для любого $\varepsilon$ достаточно будет взять $\delta = 0.5$. Но вот "определению студента" она не будет удовлетворять: для $\varepsilon=2.001$ разность $f(2(n+1)-0.5)-f(2n-0.5)$ будет неограниченно возрастать с ростом $n$. Если $M$ — связное множество (или состоит из конечного числа компонент связности), то такого примера уже не получится привести, и равномерно непрерывная на таком множестве функция будет равномерно непрерывной и "по студенту".

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.06.2018, 12:41 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
17343
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: тематика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Студент перепутал...
Сообщение08.06.2018, 22:56 
Аватара пользователя


01/12/11
8351
worm2
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Студент перепутал...
Сообщение08.06.2018, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3048
Москва
worm2 в сообщении #1318184 писал(а):
Если $M$ — связное множество (или состоит из конечного числа компонент связности), то такого примера уже не получится привести
Кажется что получится. Возьмем на плоскости два параллельных луча: $y = 0, x \in [0; \infty)$, $y = 1, x \in [0; \infty)$ и соединим их отрезком $x = 0, y \in [0; 1]$. На нижнем луче и отрезке определим функцию как $f(x, y) = 0$, на верхнем как $f(x, y) = x$. Функция равномерно непрерывна, но не удовлетворяет определению студента при $\varepsilon > 1$.

-- 08.06.2018, 23:43 --

На прямой это правда, т.к. там от одной точки связного множества на ограниченном расстоянии друг от друга всегда можно дойти ограниченным числом шагов длины $\varepsilon$, наступая только на точки множества.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group