Тип double в C++

[Qlin]

Цитата:

Тип double содержит 64 разряда: 1 для знака, 11 для экспоненты и 52 для мантиссы. Он имеет диапазон +/–1,7E308 с точностью не менее 15 знаков.

Цитата:

На обычной 32-битной вычислительной машине, использующей двойную точность (64 бита), мантисса составляет 1 бит знак + 52 бита, показатель — 1 бит знак + 10 бит. Таким образом получаем диапазон точности примерно от $4,94 \cdot 10^{-324}$ до $1.79\cdot 10^{308}$ (от $2^{-52} \times 2^{-1022}$ до ~$1 \times 2^{1024}$).

Эти два текста дают два разных диапазона. Какой из них правильный?

[Aritaborian]

Было бы весьма неплохо вместе с цитатами привести их источники.

[Qlin]

https://msdn.microsoft.com/ru-ru/library/e02ya398.aspx
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BE%D0%B9

[SVD-d]

Очевидно, первый источник и второй источник.

Верить стоит первому. Второму тоже, но надо посмотреть в правильное место.

[mustitz]

Почему разные? Надо учитывать, что диапазон задают четыре числа. Во-первых, это минимальное значение $-1.7 \cdot 10^{308}$, во-вторых это максимальное значение $+1.7 \cdot 10^{308}$. Далее идёт наименьшее строго положительное значение $4.94 \cdot 10^{-324}$, ну и для полноты картины наименьшее строго отрицательное число $-4.94 \cdot 10^{-324}$.

Первая цитата даёт первые два значения. Вторая цитата даёт первое и третье значение.

[Aritaborian]

А если бы ишшо упаковать цитаты и их источники вместе, стало бы вааще красиво. Qlin, не отлынивайте. Ну всё равно ж придёт модератор и заставит вас это сделать ;-)

[Munin]

Qlin в сообщении #1317922 писал(а):

Эти два текста дают два разных диапазона.

Оба правильные. Гуглите "нормализованное число с плавающей запятой (точкой)" и "денормализованное число с плавающей запятой (точкой)". Числа с порядками меньше $-308$ доступны в денормализованном виде, и соответственно, с меньшей точностью.

А вообще, C++ тут ни при чём. Все современные вычисления с плавающей запятой на всех платформах следуют стандарту IEEE 754.

[Aritaborian]

Munin в сообщении #1317934 писал(а):

А вообще, C++ тут ни при чём.

Обсуждение изначально пошло по кривой дорожке. Первая цитата — из документации по MS VS (и почему-то даже какой-то старой версии), вторая — из Вики, т. е., по сути, по более общей теме. Строго говоря, их нельзя сравнивать.

[Munin]

А если говорить про C++, то очевидно, следует пользоваться константами из заголовка <limits>:

std::numeric_limits<double>::denorm_min()
std::numeric_limits<double>::min()
std::numeric_limits<double>::max()
std::numeric_limits<double>::digits10
std::numeric_limits<double>::min_exponent10
std::numeric_limits<double>::max_exponent10
std::numeric_limits<double>::is_iec559

[Qlin]

Что насчет способа вычисления границ этих диапазонов? Я понимаю, почему верхняя граница равна ~$1 \times 2^{1024}$. В показателе 10 бит, значит наибольшее допустимое двоичное число будет $\underbrace {1 \ldots 1} _{10} _2=1023_{10}$. Помимо этого есть мантисса вида $1.\underbrace {1 \ldots 1} _{52} _2$, которую можно округлить до $2_{10}$. Тогда $2 \times 2^{1023} = 2^{1024}$. А почему наименьшее положительное — это $2^{-52} \times 2^{-1022}$?

Munin в сообщении #1317934 писал(а):

Гуглите "нормализованное число с плавающей запятой (точкой)" и "денормализованное число с плавающей запятой (точкой)".

Точный запрос в гугле "нормализованное число с плавающей" дает 958 результатов. Все они ужасного вида и неинформативны.

[Aritaborian]

Qlin в сообщении #1317941 писал(а):

Точный запрос в гугле "нормализованное число с плавающей" дает 958 результатов. Все они ужасного вида и неинформативны.

Попытайте счастья с запросами на английском.

[Munin]

Qlin в сообщении #1317941 писал(а):

Точный запрос в гугле "нормализованное число с плавающей" дает 958 результатов. Все они ужасного вида и неинформативны.

Не знаю, что вам не нравится. Я открыл первые 8 результатов, все они приемлемого вида и информативны:

• Число с плавающей запятой — Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki/Число_с_плавающей_запятой
• Представление чисел с плавающей точкой — Викиконспекты https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Представление_чисел_с_плавающей_точкой
• Кодирование вещественных чисел. Нормализованное представление числа https://inf1.info/float
• Как представляются в компьютере вещественные числа? http://book.kbsu.ru/theory/chapter4/1_4_13.html
• Число с плавающей запятой — Викизнание... Это Вам НЕ Википедия! http://www.wikiznanie.ru/wikipedia/index.php/Число_с_плавающей_запятой
• IEEE 754 - стандарт двоичной арифметики с плавающей точкой http://www.softelectro.ru/ieee754.html
• Числа с плавающей запятой - Основы программирования: C++ https://teccxx.neocities.org/mx1/floating_point.html
• Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Международный_стандарт_представления_чисел_с_плавающей_точкой_в_ЭВМ

[arseniiv]

Qlin
Почитайте описание IEEE 754 хоть даже в английской Википедии. Там приведены точные представления всего того, что они предлагают представлять — в том числе вы узнаете, что нулей не один, значений NaN не одно и т. п.. Если гадать, можно не догадаться, например, что единица целой части у нормализованных чисел не хранится* (а у денормализованных она необходимо всё-таки хранится).

* По крайней мере, в форматах binary32 (C float) и binary64 (C double), за которые обычно языки (и аппаратная поддержка, если не трогать расширенную точность) не выходят.

Кстати, заодно стоит знать (хотя к этой теме отношения не имеет), что вычисления с денормализованными числами на многих архитектурах сильно медленнее вычислений с нормализованными, потому их появления во многих приложениях избегают.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1317946 писал(а):

Если гадать, можно не догадаться, например, что единица целой части у нормализованных чисел не хранится

Если гадать, можно не догадаться, что иногда всё-таки хранится.

[arseniiv]

Да, я там добавил, что это касается форматов binary32 и binary64, но необязательно для чего-нибудь другого. Или там ещё какие-то случаи есть?