Понятие случайного вектора

[give_up]

На лекции по теории вероятностей нам дали следующее определение случайного вектора:

Цитата:

Пусть $(\Omega, \mathcal{F})$ - измеримое пространство. Функция $\mathbf{X}: \Omega \to \mathbb{R}^n$ называется случайным вектором на $(\Omega, \mathcal{F})$, если она $\mathcal{F}$-измерима, то есть

$$~\{\omega: \mathbf{X}(\omega) \in B\} \in \mathcal{F}, ~~ \forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$$

Здесь $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ - борелевская сигма-алгебра на $\mathbb{R}^n$.

В книге Ширяева "Вероятность" указано, что каждая компонента $X_i: \Omega \to \mathbb{R}$ случайного вектора $\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)$ также является $\mathcal{F}$-измеримой функцией на $(\Omega, \mathcal{F})$.

Предположим, что задана вероятностная мера $P$ на $(\Omega, \mathcal{F})$, то есть вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F},P)$. Зададим случайный вектор $\mathbf{X}$ на этом вероятностном пространстве.

Верно ли, что каждая компонента $X_i$ окажется заданной на том же вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F},P)$, что и вектор $\mathbf{X}$ ?

Выше было сказано, что вектор $\mathbf{X}$ и его компоненты заданы на одном и том же измеримом пространстве $(\Omega, \mathcal{F})$. Но если рассматривать вероятностное пространство вместо измеримого, то должно ли оно быть одинаковым как для $\mathbf{X}$, так и для каждой его компоненты $X_i$ ? Насколько я знаю, в практических задачах это требование обычно выполняется, но всегда ли так должно быть?

P.S. обратите внимание, что я говорю не о распределениях (индуцированных мерах) для $\mathbf{X}$ и $X_i$. Я знаю, что они могут различаться. Я говорю только об "исходной" (domain) вероятностной мере $P$ на $(\Omega, \mathcal{F})$.

[DeBill]

give_up
Не очень понял вопрос...
Что есть компонента вектора? Это - проекция вектора на (фиксированный, по умолчанию, базисный вектор). Потому, компонента отображения (хотя бы и определенного на чем то хитром) есть композиция проектора с этим отображением, и, значить, имеет ту же область определения....

[give_up]

DeBill
Ну областью определения случайного вектора ведь считается измеримое пространство $(\Omega, \mathcal{F})$, а не вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. Мера $P$ на отображения $\mathbf{X}(\omega)$ и $X_i(\omega)$ как функции от $\omega \in \Omega$ вообще не влияет.

В учебнике Ширяева определение случайного вектора вообще дается так:

Цитата:

Всякий упорядоченный набор случайных величин $(X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))$ будем называть $n$-мерным случайным вектором.

Из этого определения следует лишь то, что каждая случайная величина $X_i$ должна быть задана на одном и том же измеримом пространстве $(\Omega, \mathcal{F})$. Я не понимаю, из каких соображений делается вывод, что каждая случайная величина $X_i$ должна быть задана на одном и том же вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F},P)$? Что мешает каждую случайную величину $X_i$ рассматривать на своем вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, P_i)$?

[Otta]

give_up в сообщении #1316944 писал(а):

Что мешает каждую случайную величину $X_i$ рассматривать на своем вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, P_i)$?

Ничто не мешает. Вероятность к определению случайной величины не имеет отношения.
Например, в схеме Пуассона каждая (бернуллиевская) случайная величина рассматривается на своем вероятностном пространстве, а пространство элементарных исходов и алгебра событий - одинаковые. Иначе говоря, это одна и та же с.в. с разными распределениями. Так что когда речь зашла о вероятностях, целесообразней все же переходить к распределениям и работать с ними, там это все более естественно.

[give_up]

Otta
Как-то меня все равно сильно смущает определение случайного вектора из учебника Ширяева, что якобы всякий упорядоченный набор случайных величин $(X_1(\omega), \ldots X_n(\omega))$ называется $n$-мерным случайным вектором. После некоторых размышлений пришел к выводу, что это определение некорректно (оно чрезмерно "общее").

Поясню почему. В сравнимом по строгости учебнике Боровкова "Теория вероятностей" (кстати, как и в классических учебниках Гнеденко и Чистякова по теорверу) определение случайного вектора дается таким образом, что компоненты случайного вектора должны быть определены на одном и том же вероятностном пространстве:

Цитата:

Пусть $\xi_1, \ldots, \xi_n$ - случайные величины, заданные на вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. Каждому $\omega$ эти случайные величины ставят в соответствие $n$-мерный вектор $\xi(\omega) = (\xi_1(\omega), \ldots, \xi_n(\omega))$. Отображение $\Omega \to \mathbb{R}^n$, задаваемое случайными величинами $\xi_1, \ldots, \xi_n$, называется случайным вектором или многомерной случайной величиной.

Ниже по тексту в его книге говорится вводится распределение случайного вектора $\xi$ таким образом, что $P_\xi(B) = P(\xi \in B)$ для любого борелевского множества $B$. Думаю, что из этого факта следует, что не только случайные величины $\xi_i$ заданы на одном и том же вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, но и сам случайный вектор $\xi$ должен быть задан на том же самом вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, что и каждая из его компонент. В противном случае в правой части указанного равенства вместо символа $P$ следовало бы использовать другую букву.

Хочу также обратить внимание на определение случайного вектора с независимыми компонентами. Везде его пишут в виде

$$P(\mathbf{X} \in B) = \prod_{i=1}^n P(X_i \in B_i), \qquad \forall B= (B_1 \times \ldots \times B_n) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$$

Где в левой и в правой части равенства используется одна и та же мера $P$. Эта запись будет корректной только в том случае, когда как вектор $\mathbf{X}$, так и каждая его компонента $X_i$ заданы на одном и том же вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, P)$.

Насчет схемы серий Пуассона - сейчас перечитал ее описание и нигде не нашел там использования термина "случайный вектор". Там задана лишь некоторая последовательность случайных величин (причем представляемая в виде таблицы, что для векторов не характерно). Так что этот пример здесь, по-моему, не годится.

P.S. Заглянул также в английскую wikipedia (которой, в отличии от русской, обычно можно доверять). Там тоже указано, что компоненты случайного вектора должны быть определены на одном и том же вероятностном пространстве. Так что либо товарищ Ширяев "накосячил", либо Боровков, Гнеденко, Чистяков и wikipedia дружно врут. Я склоняюсь к первому варианту...