Вычислить интеграл-2

[ioleg19029700]

Вычислить интеграл

$$\int\limits_0^{+\infty} {{b\cdot\ln(1+ax) - a\cdot\ln(1+bx)} \over {x^2}}\,dx$$

Сначала я рассмотрел его как ИЗП, где параметр - это $a$. Продиффернцировал по $a$ и получил:

$$\int\limits_0^{+\infty}{{b\cdot\frac{x}{1+ax} - \ln(1+bx)}\over{x^2}}\,dx$$

Теперь рассмотрим полученный интеграл как ИЗП от $b$. Тогда продифференцируем по $b$ и получим:

$$\int\limits_0^{+\infty}{{\frac{x}{1+ax}-\frac{x}{1+bx}}\over{x^2}}$$

, сокращаем $x$ и получаем:

$$(b-a)\int\limits_0^{+\infty}{{dx}\over{(1+ax)(1+bx)}}$$

Если разложить это на простейшие, то получим:

$$-(\int\limits_0^{+\infty}\frac{a\,dx}{1+ax}-\int\limits_0^{+\infty}\frac{b\,dx}{1+bx})$$

. И соответственно при интегрировании возникают логарифмы, в которые подставляются бесконечности, что некорректно. Не понимаю как быть? Может идея изначально неудачна? Это я про попытку вычисления через дифференцирование под знаком. Да ещё и целых два раза обосновывать...

[thething]

А что, если сначала его по частям попробовать?

UPD. Да, работает, причем не придется проверять теоремы о дифференцировании по параметру.

[bot]

ioleg19029700 в сообщении #1314849 писал(а):

Не понимаю как быть?

Перед последним шагом у Вас был интеграл разности. Зачем Вы его заменили разностью интегралов?

[thething]

ioleg19029700 в сообщении #1314849 писал(а):

И соответственно при интегрировании возникают логарифмы, в которые подставляются бесконечности, что некорректно

А Вы, как и сказал bot, не разбивайте интеграл на два, а интегрируйте как есть. Получится логарифм частного и всё будет в порядке. Т.е. сперва надо выписать всю первообразную, свернуть, а потом делать подстановки. Ибо предел суммы не обязан быть равен сумме пределов, в случае, если пределы слагаемых -- не конечны.

[ioleg19029700]

thething
Не разбивать и оставить как есть, это вот так?

$$-\int\limits_0^{+\infty}(\frac{a}{1+ax} - \frac{b}{1+bx})\,dx = -\int\limits_0^{+\infty}\,dx\int\limits_b^a\frac{\,d\lambda}{(1+\lambda x)^2} = -\int\limits_b^a \,d\lambda\int\limits_0^{+\infty}\frac{\,dx}{(1+\lambda x)^2} = -\int\limits_b^a\frac{\,d\lambda}{\lambda} = \ln\frac{b}{a}$$

. Но здесь опять нужно обосновывать корректность перестановки пределов интегрирования. Хотя это вроде не сложно. Это кстати очень похоже на вторую формулу Фруллани, когда у функции есть предел на бесконечности. Её наверно обосновать ещё легче. Но ещё больше мне интересен Ваш первый комментарий. Как тут можно было изначально по частям проинтегрировать? Что Вы заносили под дифференциал?

[thething]

ioleg19029700
Нет, я имел ввиду, воспользоваться определением несобственного интеграла через предел собственного. Собственный посчитать путем нахождения первообразной, как Вы и делали, т.е. разбиением на простейшие дроби. Потом свернуть оба логарифма в один и только потом предел считать.

-- 25.05.2018, 18:20 --

Под дифференциал заносил $\frac{1}{x^2}$

[ioleg19029700]

thething

А вы не можете как-нибудь описать как у вас получилось проинтегрировать это по частям. То есть основные этапы, просто я дошел до логарифма, но дальше уже не понимаю что заносить под дифференциал

[thething]

Приведите, что получилось у Вас. Под дифференциал заносим $\frac{1}{x^2}$ и алга) Кстати, второй интеграл получается почти как у Вас, только с другим коэффициентом.

[ewert]

Если заменить нижний предел на эпсилон, то интеграл, очевидно, изменится на бесконечно малую (относительно эпсилона) величину и превратится в $ab\int\limits_{a\varepsilon}^{b\varepsilon}\frac{\ln(1+t)}{t^2}\,dt$. Теперь достаточно оставить от логарифма первый член формулы Тейлора (поскольку интеграл от поправки при $\varepsilon\to0$ опять же бесконечно мал) -- и всё.