Преобразования под знаком суммы

[demasiwe]

Доброго всем дня и вечера!
Задание следующее: используя разложения $\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{\sin \frac{\pi \cdot n}{2}}{n!}x^n}$; $\cos x=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{\cos \frac{\pi \cdot n}{2}}{n!}x^n}$, доказать тождество $\cos^2 x+\sin^2 x = 1$.
Разложения в ряд для $\sin^2 x \ $, $\cos^2 x$ мы должны получить, перемножая представленные ряды по правилу Коши).
Начинаю выполнять задание:
для $\sin^2 x$ получаю разложение:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{\cos \frac{\pi\cdot n}{2}}{2}\sum\limits_{k=0}^n{\frac{(-1)^k-1}{k!(n-k)!}x^n}}$$

для $\cos^2 x$ получаю разложение:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{\cos \frac{\pi\cdot n}{2}}{2}\sum\limits_{k=0}^n{\frac{(-1)^k+1}{k!(n-k)!}x^n}}$$

Следовательно вопрос: что делать дальше? Пытаюсь сложить эти ряды и получается бяка.

demasiwe
Не разрывайте формулы. Ставьте доллары только по краям. Исправлено / Lia

[Someone]

demasiwe в сообщении #1315181 писал(а):

$$\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{\cos \frac{\pi\cdot n}{2}}{2}\sum\limits_{k=0}^n{\frac{(-1)^k-1}{k!(n-k)!}x^n}}$$

Может быть, Вы сделали какие-то преобразования, которые делать не следовало? Вот откуда там взялись $\pm 1$ и $(-1)^n$?

[demasiwe]

Someone в сообщении #1315182 писал(а):

demasiwe в сообщении #1315181 писал(а):

$$\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{\cos \frac{\pi\cdot n}{2}}{2}\sum\limits_{k=0}^n{\frac{(-1)^k-1}{k!(n-k)!}x^n}}$$

Может быть, Вы сделали какие-то преобразования, которые делать не следовало? Вот откуда там взялись $\pm 1$ и $(-1)^n$?

Зря я поленился написать все свои преобразования. Перед тем, как учесть, что $\cos \pi\cdot k = (-1)^k$ и $\sin \pi\cdot k = 0$ для целых чисел, были следующие разложения:

$${\sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{\cos \frac{\pi n}{2}\cos \pi k - \sin\frac{\pi n}{2}\sin \pi k - \cos\frac{\pi n}{2}}{k!(n-k)!}x^k}}$$

$${\sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{\cos \frac{\pi n}{2}\cos \pi k + \sin\frac{\pi n}{2}\sin \pi k + \cos\frac{\pi n}{2}}{k!(n-k)!}x^k}}$$

для $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$ соответственно.

[Someone]

Ещё раньше. Самое начало: результат возведения в квадрат.

[demasiwe]

Someone в сообщении #1315188 писал(а):

Ещё раньше. Самое начало: результат возведения в квадрат.

К сожалению, упустил в предыдущем ответе один сомножитель - $\frac{1}{2}$, но он не влияет на решение.

$$ \sin^2 x = \sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{\sin\frac{\pi k}{2}\sin\frac{\pi(n-k)}{2}}{k!(n-k)!}x^n}} =\sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{\frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi k- \pi n + \pi k}{2}) - \cos (\frac{\pi k + \pi n - \pi k}{2})}{k!(n-k)!}x^n}}$$

$$\sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{\frac{1}{2}(\cos(\pi k + \frac{\pi n}{2}) - \cos \frac{\pi n}{2})}{k!(n-k)!}x^n}}={\sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi n}{2}\cos \pi k - \sin\frac{\pi n}{2}\sin \pi k - \cos\frac{\pi n}{2})}{k!(n-k)!}x^n}}$$

$$ \cos^2 x = \sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{\cos\frac{\pi k}{2}\cos\frac{\pi(n-k)}{2}}{k!(n-k)!}x^n}} =\sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{\frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi k+ \pi n - \pi k}{2}) + \cos (\frac{\pi k - \pi n + \pi k}{2})}{k!(n-k)!}x^n}}$$

$$\sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{\frac{1}{2}(\cos(\pi k - \frac{\pi n}{2}) + \cos \frac{\pi n}{2})}{k!(n-k)!}x^n}}={\sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi n}{2}\cos \pi k + \sin\frac{\pi n}{2}\sin \pi k + \cos\frac{\pi n}{2})}{k!(n-k)!}x^n}}$$

[Someone]

По-моему, здесь все преобразования лишние.

[demasiwe]

Someone в сообщении #1315193 писал(а):

По-моему, здесь все преобразования лишние.

А как тогда быть, что делать?

[Someone]

Сложить, как требовалось.

-- Сб май 26, 2018 23:22:33 --

Да, кстати, там у Вас должно быть не $x^k$, а $x^n$.

[demasiwe]

Someone в сообщении #1315196 писал(а):

Сложить, как требовалось.

Действительно, что-то я слеп. Вот результат сложения:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{cos(\pi k - \frac{\pi n}{2})}{k!(n-k)!}x^n}}$$

Но как-то то до меня не доходит, как отсюда получить единицу.

[Someone]

Ещё раз обращаю ваше внимание, что степень $x^k$ у Вас неправильная.

Есть такие формулы приведения: $\cos(\alpha+\pi k)=(-1)^k\cos\alpha$ и $\sin(\alpha+\pi k)=(-1)^k\sin\alpha$.
Также пригодится формула бинома Ньютона.

[demasiwe]

Someone в сообщении #1315198 писал(а):

Ещё раз обращаю ваше внимание, что степень $x^k$ у Вас неправильная.

Есть такие формулы приведения: $\cos(\alpha+\pi k)=(-1)^k\cos\alpha$ и $\sin(\alpha+\pi k)=(-1)^k\sin\alpha$.
Также пригодится формула бинома Ньютона.

Спасибо большое! Ваши подсказки позволили вроде бы верно получить 1, то есть доказать формулу.

[thething]

demasiwe в сообщении #1315280 писал(а):

Ваши подсказки позволили вроде бы верно получить 1

То есть Вы не уверены, получили ли Вы единицу, или не уверены в правильности решения?)

[demasiwe]

thething, не совсем уверен в правильности решения: просто там получается $0^0= 1$, но когда начинаю проверять сумму в Maple, Wolframalpha, то они заявляют мне, что вся сумма равна 0. Это меня смущает, но не так сильно, чтобы обращать на это внимание

[thething]

Вообще-то $0^0$ -- это неопределённое выражение (может быть и единица, но не факт)

[demasiwe]

$$\sum\limits_{n=0}^\infty{\sum\limits_{k=0}^n{\frac{cos(\pi k - \frac{\pi n}{2})}{k!(n-k)!}x^n}}=\sum\limits_{n=0}^\infty{\cos\frac{\pi n}{2}x^n\sum\limits_{k=0}^n{\frac{(-1)^k}{k!(n-k)!}}}=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{\cos\frac{\pi n}{2}}{n!}x^n\sum\limits_{k=0}^n{\frac{(-1)^k (n!)}{k!(n-k)!}}}= $$=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{\cos\frac{\pi n}{2}}{n!}(1+(-1))^n\cdot x^n}$$

Тогда вопрос открыт вновь: как мне получить заведомую единицу?