Неравенстов Чебышева или Предельные теоремы в схеме Бернулли

[error420]

В большом городе в год рождается 20.000 детей. Считая вероятность рождения мальчика $p=0,51$ найти такое число t, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что среди рожденный в течение года в этом городе детей число мальчиков превышает число девочек не менее чем на t.

Значит задача дана к главе "Пределеные теоремы в схеме Бернули", я же думал что решил ее с помощью неравенства Чебышева, которое давалось в прошлой главе, но результат который я получаю - удручающий. Центральную предельную теорему проходят в 10-ой главе, поэтому решение должно не предполагать ее знание.

Вот мое решение
Пусть $S_n $ - число родившихся мальчиков, тогда $(n-S_n)$ - число родившихся девочек, тогда разница равна $2S_n - n$
$P\left\lbrace2S_n - n \geqslant t\right\rbrace \geqslant 0,99$
$P\left\lbrace2S_n - n \leqslant t\right\rbrace = 1 - P\left\lbrace2S_n - n \geqslant t\right\rbrace$
$P\left\lbrace2S_n - n \leqslant t\right\rbrace \leqslant 0,01 $
$P\left\lbrace n - 2S_n \geqslant -t\right\rbrace \leqslant 0,01 $
$P\left\lbrace2n - 2S_n \geqslant n-t\right\rbrace \leqslant 0,01 $
$P\left\lbrace|2n - 2S_n| \geqslant n-t\right\rbrace \leqslant 0,01 = \frac{M|2n-2S_n|}{n-t} $
где $n = 20.000$
$M|2n-2S_n| = 19.600$
отсюда $t$ получается отрицательным и вообще не имеет никакого смысла, не могу понять где я наврал в своих переходах

[Lia]

error420
Предельные теоремы в схеме Бернулли традиционно изучаются в начале курса теории вероятностей. Их три. Вам подходит только одна. Найдите, какая именно, и повторите попытку решения еще раз.

Текущие оценки действительно ничего не дают, я их даже не проверяю. Достаточно первой фразы.

error420 в сообщении #1314751 писал(а):

я же думал что решил ее с помощью неравенства Чебышева

[error420]

Lia
Посмотрите все-таки пожалуйста, я думаю это не займет много времени, как минимум хотел бы понять где ошибка или почему так делать нельзя.

А я пока постараюсь еще раз проанализировать соотв. теоремы

[Lia]

Ой, ну Вы чего-то совершенно бесполезного хотите от меня. Во-первых, Вы не используете неравенство Чебышева. Вы используете неравенство Маркова. Во-вторых, что то, что другое, не предполагают наличия сведений о распределении случайной величины - а оно Вам дано по условию, - и стало быть, являются очень грубой оценкой вероятности, и вероятности $0,01$ Вы с его помощью не получите, нужны более тонкие инструменты. В-третьих, матожидание, которое Вы посчитали напоследок, не такое, upd а, нет, такое, - но это не делает погоды. Погоду делают первые два пункта: слишком грубая оценка.

[error420]

Не думаю, что хочу от Вас чего-то бесполезного, так как на сколько мне представляется, основная идея этого форума не рассказать человеку как решить задачку, а помочь разобраться в материале. На счёт неравенство Маркова, видимо в разной литературе данное неравенство именуется по разному, я используя учебник Севастьянова имею представление об этом неравенстве как о неравенстве Чебышева, сведения о распределении случайной величины так же необходимы для подсчета мат ожидания, на сколько мне известно приближение в данных неравенствах отсутствует, поэтому мне не ясно в чем грубость приближения.
На счёт мат ожидания, хотел бы уточнить в чем Ошибка его подсчета $M(S_n) = p\cdot n = 10200$
$40.000-2\cdot 10200 = 19600$

[Lia]

error420 в сообщении #1314757 писал(а):

На счёт мат ожидания, хотел бы уточнить в чем Ошибка его подсчета $M(S_n) = p\cdot n = 10200$

Я уже исправила выше. Забыла про Вашу двойку.

-- 25.05.2018, 05:58 --

error420 в сообщении #1314757 писал(а):

сведения о распределении случайной величины так же необходимы для подсчета мат ожидания,

Один момент - это не распределение. С одним и тем же первым моментом могут быть очень разные распределения.
Например, правило трех сигм, прямое следствие неравенства Чебышева: отклонение с.в. более чем на утроенное значение с.к.о. в общем случае происходит с вероятностью не большей $1/9$, а для нормального распределения - уже с вероятностью, не большей $0.003$. Даже если матожидание первой и второй с.в. одно и то же.

Еще раз: сведения о распределении Вы не используете (в Вашем случае - что это схема Бернулли), а на моментах у Вас будут очень грубые оценки, их недостаточно для такой точности. Больше мне нечего сказать.

[error420]

Lia
Я решил воспользоваться интегральной предельной теоремой Муавра-Лапласа
Тогда нам нужно найти такое $m_1$, чтобы
$P\left\lbrace m_1 \leqslant \mu \leqslant 20.000 \right\rbrace = 0,99$
$x_m_1 = \frac{m_1 - np}{\sqrt{npq}} $
$x_m_2 = \frac{m_2 - np}{\sqrt{npq}} $ , где $m_2 = 20.000$
$P\left\lbrace m_1 \leqslant \mu \leqslant 20.000 \right\rbrace = 1 - \Phi_0(x_m_1)$, тогда $x_m_1 = 0,26$
Отсюда получаем, что $m_1 = 10218$, отсюда $t = 436$
Ответ же к задаче предполагает, что $t = 71$, я где-то ошибся или ответ неправильный?

[DeBill]

error420 в сообщении #1314843 писал(а):

тогда $x_m_1 = 0,26$

Прямо перед этим - ошибка (вместо единички должна быть половинка). И тогда будет $x=-2.34$....

[Someone]

А что такое $\Phi_0(x)$? А то функция Лапласа имеет несколько разных вариантов определения и может иметь разные названия. Соответственно, нужно использовать разные таблицы и разные формулы для вычисления вероятности…