Сужение основного пространства и расширение сопряжённого

[orange_cat]

Помогите пожалуйста разобраться.

Читаю учебник Колмогорова и Фомина "Элементы теории функций и функционального анализа", конкретно параграф про обобщённые функции (глава 4, параграф 4). В пункте 5 написано: "сужение основного пространства приводит, очевидно, к расширению сопряжённого пространства."

Никак не могу понять, почему это так. Не могли бы Вы мне объяснить, почему чем Уже пространство, тем появляется бОльший запас линейных непрерывных функционалов на нём?

[Brukvalub]

При сужении основного пространства сужения на него всех имевшихся линейных функционалов останутся линейными функционалами, но на сужении могут появиться и новые линейные функционалы. Но есть и другая беда: разные на всем пространстве линейные функционалы могут совпасть на сужении. Так что обсуждаемое утверждение не всегда верно, например, размерности конечномерного в.п. и его сопряженного всегда совпадают, так что при сужении в.п. сопряженное может и уменьшиться. Нужны конкретные примеры.