Выделение из матрицы главной диагонали с помощью умножения

[timur19]

Помогите, пожалуйста, разобраться с маленьким вопросом по линейной алгебре.

Допустим, у нас есть квадратная матрица, для простоты пусть 3-го порядка:

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

Можно ли с помощью умножения её (хоть слева, хоть справа, хоть с обеих сторон) на матрицу (матрицы) специального вида получить диагональную матрицу $D$, у которой на главной диагонали стоят те же числа, что и у матрицы $A$, т.е.

$$ D = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} $$

Я перепробовал кучу матриц с нулями и единицами - не получается никак. Дайте подсказку, пожалуйста.

[Someone]

Ну, допустим, Вы хотите, чтобы выполнялось равенство $AB=D$. Как найти матрицу $B$?
Вы хотите, чтобы матрица $B$ была одной и той же для всех $A$? А возможно ли это?

[timur19]

То есть Вы хотите сказать, что $B=A^{-1}D$, если матрица $A$ обратима? А если $A$ необратима?

Вы намекаете на то, что нельзя никак сделать матрицу $B$ одной и той же для всех $A$ ?

[Someone]

timur19 в сообщении #1314026 писал(а):

А если $A$ необратима?

А если, мало того, что $A$ вырожденная, так ещё и $D$ невырожденная?

timur19 в сообщении #1314026 писал(а):

Вы намекаете на то, что нельзя никак сделать матрицу $B$ одной и той же для всех $A$ ?

А как Вы думаете? С учётом того, что

timur19 в сообщении #1314026 писал(а):

$B=A^{-1}D$, если матрица $A$ обратима

[Munin]

Можно рассмотреть вашу матрицу как вектор 9-мерного пространства, и умножить на матрицу $9\times 9.$

[TOTAL]

Пусть $X$ - искомая волшебная матрица, т.е. $AX=D$.
Тогда $AXX=DX=D$, т.е $XX$ - тоже волшебная матрица, причем диагональная.
Очевидно, диагональной матрицы с требуемым свойством не существует.