Исследовать ряд на сходимость-2

[alex10007]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, исследовать ряд на сходимость!
Ряд:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n^2}{n^3+2}$

Моя попытка решения:
1. Пусть ряд (1): $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n^2}{n^3+2}$

2. Ряд (1) знакочередующийся, т.к. содержит $(-1)^n$

3. $a_1=\frac{1}{3}$; $a_2=\frac{4}{10} \Rightarrow a_2>a_1 \Rightarrow$ Теорему Лейбница использовать нельзя.

4. Исследуем сходимость ряда (2):$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^3+2}$, составленного из абсолютных величин ряда (1):

Пусть ряд (3): $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$

Это гармонический ряд. Известно, что он расходится.

Применим предельный признак для сравнения рядов (2) и (3):

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{ \frac{n^2}{n^3+3} }{ \frac{1}{n} }\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^3}{n^3+3}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1+\frac{3}{n^3}}\right)=1$

Предел отношения общих членов существует и не равен нулю, следовательно ряд (2) расходится, т.к. ряд (3) расходится.

5. Получается, что т.к. ряд (2) расходится, то применить достаточный признак сходимости знакопеременного ряда невозможно.
Достаточный признак расходимости также не срабатывает, т.к. предел общего члена стремится к нулю.
WolframAlpha говорит, что ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится (что уже доказано), т.е. ряд (1) условно сходящийся.

Есть идея, что его нужно разложить на 2 сходящихся ряда, сходимость которых можно доказать через теорему Лейбница.
Тогда сумма двух сходящихся рядов будет сходящимся рядом в соответствии со свойствами сходящихся числовых рядов.

Подскажите, пожалуйста, как решить. На какие ряды разложить ряд (1)?

[ex-math]

А Вы знаете, что все признаки сходимости формулируются со словами "начиная с некоторого номера", и признак Лейбница не является здесь исключением?

[thething]

alex10007 в сообщении #1313475 писал(а):

$a_1=\frac{1}{3}$; $a_2=\frac{4}{10} \Rightarrow a_2>a_1 \Rightarrow$ Теорему Лейбница использовать нельзя.

Необязательно, чтобы монотонное убывание было с самого начала. Можно с какого-то члена.

-- 19.05.2018, 20:47 --

Составьте неравенство "последующий"$<$"предыдущего" и найдите, с какого $n$ оно начинает выполняться

[alex10007]

Спасибо вам огромное за ответы! Теперь все ясно!
Я ориентировался на "Конспект лекций по высшей математике" Д.Т. Письменного. Там этот факт, что монотонное убывание абсолютных величин членов ряда может быть не с самого начала, не указан.
Подскажите, пожалуйста, какой учебник можно процитировать, чтобы обосновать применение этого признака сходимости?

Второй вопрос не относится непосредственно к данной задаче, но тоже меня волнует. Как применять достаточный признак расходимости к знакочередующемуся ряду?
Допустим, на примере данной задачи уместна ли такая запись:
$\lim\limits_{n\to\infty}((-1)^n \frac{n^2}{n^3+2})=\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n^2}{n^3+2})=\ldots=0$
У меня вызывает некоторое смущение наличие $(-1)^n$, ведь предел периодической функции смысла не имеет.

[thething]

alex10007 в сообщении #1313484 писал(а):

монотонное убывание абсолютных величин членов ряда может быть не с самого начала, не указан.

Обычно в любом учебнике говорится, что конечное число членов ряда не влияет на его сходимость. Поэтому мы можем отбросить сколько надо и исследовать, уже как бы начиная с первого номера.

alex10007 в сообщении #1313484 писал(а):

У меня вызывает некоторое смущение наличие $(-1)^n$, ведь предел периодической функции смысла не имеет.

Тут ссылайтесь на произведение бесконечно малой на ограниченную

[alex10007]

thething
Действительно, нашел у Письменного:
"Если к ряду (13.1) прибавить или отбросить конечное количество членов, то полученный ряд и (13.1) сходятся или расходятся одновременно".

Мне кажется, что чем решать неравенство, проще поступить так:
$f(x):\begin{cases}f(x)=\frac{x^2}{x^3+2}\\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}=f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n)+\ldots \end{cases}$

$f^{\prime}(x)=\frac{ (n^2)^{\prime}(n^3+2)-(n^2)(n^3+2)^{\prime} } {(n^3+2)^2}=-\frac{n(n^3-4)}{(n^3+2)^2}$

Найдем промежутки, на которых f(x) монотонно убывает:

$f^{\prime}(x)<0$

$-\frac{x(x^3-4)}{(x^3+2)^2}<0$

$-x(x^3-4)<0$

Решая данное неравенство, получаем:
$x\in(-\infty;0)\cup(2^{\frac{2}{3}};\infty)$

$2^{\frac{2}{3}}=1.587..$

Т.е. $a_n>a_{n+1}\bigg| n\geq2$

Абсолютные величины членов ряда убывают начиная со второго члена ряда.

[thething]

Да вот только производные идут сильно позже рядов и такой "читинг" скорее всего пока что недопустим.. Конечно, если эта задача не возникла, как часть другой задачи более поздних разделов анализа.

[alex10007]

А мы на первом семестре прошли производные, на втором интегрирование, дифференциальные уравнения и вот теперь до рядов добрались.

Получается, что с учетом приведенного выше общего свойства сходящихся числовых рядов (о прибавлении и отбрасывании членов), можно сделать так:
Взять ряд (4), образованный из данного путем сдвига на 1 единицу:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^3+2}$

Он будет полностью удовлетворять условиям применения признака Лейбница, описанным у Письменного.

Доказать, что он сходится.

А потом сказать, что исходный ряд (1) получен путем прибавления одного члена (конечного числа) к сходящемуся ряду (4), а потому он также сходится, а с учетом расходимости ряда, составленного из абсолютных величин, сходится относительно.

[thething]

Можно и так, но по-моему эти сдвиги по индексу -- лишние. Хотя, кого как учат, видимо.

[alex10007]

Спасибо вам огромное за подсказки.

[Someone]

alex10007 в сообщении #1313494 писал(а):

Взять ряд (4), образованный из данного путем сдвига на 1 единицу:

Совершенно лишнее. Достаточно сказать, что, начиная с такого-то номера, условия признака выполняются, причём, указывать именно наименьший возможный номер не обязательно, можно указать любой достаточно большой.