Вычисление силы действующий на точечный заряд через интеграл

[Men007]

По контуру, имеющему форму квадрата с стороной $a$, течет ток $I$. С какой силой этот ток действует на точечный магнитный заряд $m$, находящийся в центра квадрата?
Указание:
При вычислении использовать закон Био-Савара:
элемент тока действует на точечный магнитный заряд $m$ с силой, равной по величине $\frac{mI\sin\alpha dl}{r^{2}}$, где $I$ - ток; $\alpha$- угол между направлением прямой, соединяющей магнитный заряд и элемент тока, и направлением самого элемента тока; $dl$ - элемент длины проводника; $r$ - расстояние от элемента тока до магнитного заряда.
Эта сила наплавлена по нормали к плоскости, соединяющей элемент тока и точку, в которой помещен магнитный заряд: направление силы устанавливается правилом "буравчика".

Решение:

Вычислим силу, которая действует на точечный магнитный заряд (находящийся в центре квадрата) с $\frac{1}{2}$-ой части стороны квадратного контура, после чего домножим полученный результат на $8$ (умножаем на $8$, так как квадрат имеет $4$ стороны, и если каждую из них поделить на $2$, то получим $8$ частей):

Согласно указаниям из учебника, имеем:

$dF=\frac{mI\sin\alpha dl}{r^{2}}$

Если изобразить квадратный контру вместе с зарядом $m$, то увидим:

$r^{2}=x^{2}+(\frac{a}{2})^{2}=\sqrt{x^{2}+\frac{a^{2}}{4}}$ (по теореме Пифагора)

$\sin\alpha = \frac{a}{2}\cdot \frac{1}{r}=\frac{a}{2\sqrt{x^2+\frac{a^{2}}{4}}}$ (из соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника)

Таким образом, получим:

$F=8\cdot\int\limits_{0}^{\frac{a}{2}}(\frac{mIa}{2\sqrt{x^2+\frac{a^{2}}{4}}}\cdot\frac{1}{x^{2}+\frac{a^{2}}{4}})dx=\frac{8\sqrt{2}mI}{a}$

Верный ли ход решения? Нельзя ли проще решить это задание, используя другие пределы интегрирования (я ставил пределы так, чтобы удобно было выражать $\sin\alpha$ - в данном случае через катет и гипотенузу).