Посчитать норму оператора

[Sikle]

$(Af)(x)=\int_0^{2\pi} \cos(3x+4y)f(y)\,dy $

Помогите посчитать норму этого оператора.
Частичное решение мне знакомый скинул, но я не смог в нем разобраться.

Цитата:

В L2 $(Af)(x)=\int_0^{2\pi} \cos(3x+4y)f(y)\,dy $
Разложим f(y) в ряд Фурье, f(y)=a_0/2+\sum a_k cos(kx)+b_k sin(kx).
Тогда Afx=(cos(3x+4y), f(y))=(cos(3x+4y),a_4 cos(4x)+b_4 sin(4x))
Поскольку мы максимизируем ||Af||/||f||, ||f||=\sum a_k^2+b_k^2, то для
достижения максимума a_k=b_k=0 при k/=4.

Так что остается тупо проинтегрировать и найти максимум по двум
переменным,a_4 и b_4. Впрочем, у меня есть подозрение, что от них
вообще ничего не зависит. Тогда ответом будет sqrt(2п), или сколько там
получалось...

Сори, не умеею в математике работать, исправлю, как только узнаю как.

[ewert]

Sikle писал(а):

Afx=\int_0^2*pi (cos(3x+4y)f(y)dy).

Помогите посчитать норму этого оператора.

$(Af)(x)=\int_0^{2\pi} \cos(3x+4y)f(y)\,dy = $
$=\cos3x\cdot\int_0^{2\pi} \cos4y\,f(y)\,dy - \sin3x\cdot\int_0^{2\pi} \sin4y\,f(y)\,dy \equiv $
$\equiv\varphi_1(x)\,(f,\psi_1)+\varphi_2(x)\,(f,\psi_2)$.

Здесь под $(\cdot,\cdot)$ понимается скалярное произведение функций; $\varphi_1(x),\ \psi_1(x),\ \varphi_2(x),\ \psi_2(x)$ -- соотв. косинусы и синусы, они попарно ортогональны и норма каждой из них равна $\sqrt{\pi}$. Сравним этот оператор немного с другим:

$(Pf)(x)\equiv(\sqrt{\pi})^{-2}\psi_1(x)\,(f,\psi_1)+(\sqrt{\pi})^{-2}\psi_2(x)\,(f,\psi_2)$.$

Сам по себе оператор $P$ -- это ортопроектор на очень маленький участок ряда Фурье; следовательно, его норма (как и любого ортопроектора) равна единице.
Оператор $A$ получается из $P$ двумя операциями:
а) умножением на $\pi$ (соответственно, умножается норма);
б) перестановкой на выходе $\psi_1\leftrightarrow\varphi_1$ и $\psi_2\leftrightarrow\varphi_2$; это преобразование унитарно и, следовательно, не меняет норму оператора.

Таким образом, $\Vert A\Vert=\pi$.

---------------------------------------------------
И вообще, если оператор задаётся как

$$A=\sum_k\varphi_k(\cdot,\psi_k)$$

, где все функции $\{\varphi_k\}$ попарно ортогональны и все функции $\{\psi_k\}$ тоже попарно ортогональны, то

$$\Vert A\Vert=\mathop{\sup}\limits_k(\Vert\varphi_k\Vert\cdot\Vert\psi_k\Vert)$$

.

[Sikle]

Извените за глупые вопросы, но мне просто надо будет эту задачу защищать завтра вечером.
1. Согласно чему в теории мы можем выносить скалярное произведение из под знака интеграла.
2. Почему норма каждого корень из пи?
3. Оператор П это класический оператор)(в смысле взят из каких-то книжек. если да, то можно какие-то ссылки на это), или вы сами привели? {Корчень из п в -2, это разве не 1/п}
4. Почему замена фи 1 на пси 1 - унитарно.

Спасибо большое.

[ewert]

Sikle писал(а):

Извените за глупые вопросы, но мне просто надо будет эту задачу защищать завтра вечером.
1. Согласно чему в теории мы можем выносить скалярное произведение из под знака интеграла.
2. Почему норма каждого корень из пи?
3. Оператор П это класический оператор)(в смысле взят из каких-то книжек. если да, то можно какие-то ссылки на это), или вы сами привели? {Корчень из п в -2, это разве не 1/п}
4. Почему замена фи 1 на пси 1 - унитарно.

Спасибо большое.

Щас попробую.

1) мы не выносим скалярное произведение за знак -- он (интеграл) и есть по определению некое скалярное произведение.

2) это результат тривиального интегрирования. Проинтегрируйте квадрат синуса/косинуса (а это и будет по определению квадрат нормы) по периоду, или по полупериоду, ну или даже хоть по четвертьпериоду -- и получится ровно то, что есть.

3) тут сложнее. Дело в том, что выражение вида $\varphi(f,\varphi)$ -- это всегда ортопроектор, если, конечно, та "фи" нормирована на единицу. А если суммируется несколько аналогичных выражений с взаимно ортогональными "фи" (ну т.е. несколько ортопроекторов на взаимно ортогональные подпространства) -- то и ортопроектор на сумму тех подпространств и выйдет.

4). Потому, что этот оператор переводит образ моего типа замечательного оператора $P$ в образ исходного оператора $A$. Оба множества двумерны, и ортонормированный базис одного из них взаимно-однозначно переводится в аналогичный базис другого, причём с сохранением нормы, а это и есть унитарность (ну или изометричность -- для пуристов).

----------------------------------------------------
наверное, я тут чего-то напижонил; но если хоть на один вопрос ответил -- буду рад.

[Sikle]

Спасибо большое. Сегодня вечером сяду это понимать и читать теорию. Завтра возможно что-то еще уточню) или сегодя)

[Sikle]

Где можно прочитать об ортопроекторах, в частонсти о тех которые используются здесь?
И что-то про унитарность...
Смотрю по колмогорову, но тут не нахожу.

[ewert]

Sikle писал(а):

Где можно прочитать об ортопроекторах, в частонсти о тех которые используются здесь?
И что-то про унитарность...
Смотрю по колмогорову, но тут не нахожу.

Да, наверное, в любой книжке по функциональному анализу.

Ортопроектор -- это любой линейный оператор $P$, удовлетворяющий требованиям $P=P^*$ (самосопряжённость) и $P^2=P$. Эквивалентное определение: $P$ -- это оператор ортогонального проектирования на некоторое подпространство $L$, если на самом этом подпространстве он действует как тождественный, а на ортогональном дополнении к нему даёт ноль. Применительно к теме существенно вот что. Если $\{\psi_k\}$ -- это ортонормированная система и $f=\sum_kC_k\psi_k$ -- обобщённый ряд Фурье по этой системе (т.е. $C_k=(f,\psi_k)$ -- это коэффициенты Фурье), то каждое из слагаемых этого ряда есть не что иное как применение к $f$ ортопроектора на одномерное подпространство, порождённое соответствующим $\psi_k$. И вообще, сумма любого количества слагаемых этого ряда, вырванных произвольно -- это ортопроектор на линейную оболочку соотв. $\psi_k$-ых (точнее, на её замыкание, если берётся бесконечный набор слагаемых).

Унитарность -- это такое биективное линейное отображение между двуми гильбертовыми пространствами (возможно, и одинаковыми), которое сохраняет все нормы или, что равносильно, сохраняет любые скалярные произведения. Эквивалентное определение: оператор унитарен $\Longleftrightarrow$ он переводит любой ортонормированный базис в некоторый ортонормированный базис $\Longleftrightarrow$ он переводит хотя бы один ортонормированный базис в некоторый ортонормированный базис. (Конечно, это верно лишь в сепарабельном случае, т.е. когда имеет смысл само понятие базиса.)

В нашем примере множество значений оператора двумерно, т.е. речь шла об унитарном преобразовании между двумя двумерными пространствами. Базисы в них -- это соответствующие синусы и косинусы, они взаимно ортогональны и имеют одинаковые нормы, так что унитарность очевидна.

[Sikle]

Огромное спасибо) вы мне очень сильно помогли.

____
Сдал)