Изоморфизм колец

[wooddii]

Здравствуйте! Требуется доказать, что любое кольцо изоморфно подкольцу некоторого кольца с единицей.

Задача кажется простой, однако неясно, с чего начать.

Из теоремы об изоморфизмах колец следует, что если $\varphi: R \to S$ гомоморфизм, то:
1. $\operatorname{Ker} \varphi $ -- идеал в R;
2. $\operatorname{Im} \varphi $ -- подкольцо в S;
3. $\operatorname{Im} \varphi \simeq \operatorname{R} /\operatorname{Ker} \varphi $.

Неясно, как тут используется то, что одно кольцо $-$ это кольцо с единицей.
Смущает также тот факт, что нулевой и единичный элементы кольца являются нулем и единицей любого его подкольца. То есть получается, что в одном кольце есть единица, в другом нету, при том эти кольца изоморфны!

Подскажите!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

Надо просто придумать способ присоединить единицу к произвольному кольцу. Никакая теорема об изоморфизмах тут не нужна.

wooddii в сообщении #1313001 писал(а):

Смущает также тот факт, что нулевой и единичный элементы кольца являются нулем и единицей любого его подкольца.

Нулевой элемент — да. А вот единичный элемент в подкольцо может и не попасть.

wooddii в сообщении #1313001 писал(а):

То есть получается, что в одном кольце есть единица, в другом нету, при том эти кольца изоморфны!

А это ещё с какой стати?

[wooddii]

Someone в сообщении #1313292 писал(а):

Нулевой элемент — да. А вот единичный элемент в подкольцо может и не попасть.

Смотрю на определение еще раз. Да, Вы правы, S $-$ подкольцо, если это подгруппа аддитивной группы R, и $\forall a,b \in S$ $a \cdot b \in S$

wooddii в сообщении #1313001 писал(а):

То есть получается, что в одном кольце есть единица, в другом нету, при том эти кольца изоморфны!

Получается, что это не так, зачем же тогда нам нужна единица?

[Someone]

wooddii в сообщении #1313296 писал(а):

Получается, что это не так, зачем же тогда нам нужна единица?

Единица нужна для того, чтобы была. А вот откуда Вы этот изоморфизм взяли?

[wooddii]

Someone в сообщении #1313301 писал(а):

wooddii в сообщении #1313296 писал(а):

Получается, что это не так, зачем же тогда нам нужна единица?

Единица нужна для того, чтобы была. А вот откуда Вы этот изоморфизм взяли?

Так ведь нужно доказать, что кольцо изоморфно подкольцу некоторого кольца с единицей. А подкольцо - это тоже кольцо. Думал, что раз кольцо содержит единицу, то и подкольцо тоже её содержит, но Вы убедили меня в обратном! Теперь я в замешательстве и не понимаю, зачем эта единица в условии вообще нужна!

[Someone]

wooddii в сообщении #1313307 писал(а):

Теперь я в замешательстве и не понимаю, зачем эта единица в условии вообще нужна!

Ну так есть у меня кольцо без единичного элемента. А мне позарез хочется, чтобы единичный элемент был. Жить без него не могу. Значит, нужно как-то исхитриться и присоединить к кольцу единицу (и, вероятно, придётся ещё сколько-то элементов присоединить, чтобы кольцо получилось). А первоначальное кольцо будет подкольцом нового кольца.

Вот и придумайте способ.

[wooddii]

На ум приходит только способ следующего вида.
Любую алгебру над коммутативным кольцом, даже не обязательно ассоциативную, можно расширить на одну размерность, добавив элемент 1 и определив умножение на линейных комбинациях как:
$(a_1+b_1\cdot1)\cdot(a_2+b_2\cdot1) = a_1a_2+a_1b_2+a_2b_1+b_1b_2\cdot1$.
При этом свойства ассоциативности и коммутативности умножения сохранятся . Элемент 1 будет являться единицей расширенной алгебры.

С кольцом такое тоже можно проделать, так как всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над ${\displaystyle \mathbb {Z}}$.

Соответственно ещё нужно добавить элементы, чтобы множество было замкнутым.

Однако никто не говорил, что исходное кольцо коммутативно!
Значит, нужен другой способ?

[arseniiv]

wooddii в сообщении #1313320 писал(а):

Любую алгебру над коммутативным кольцом, даже не обязательно ассоциативную, можно расширить на одну размерность, добавив элемент 1 и определив умножение на линейных комбинациях как:
$(a_1+b_1\cdot1)\cdot(a_2+b_2\cdot1) = a_1a_2+a_1b_2+a_2b_1+b_1b_2\cdot1$.

Если кольцо было с единицей, размерность не добавится, потому что (обозначим добавленный элемент алгебры жирной единицей) $a\cdot\mathbf1 \equiv (a + 0\mathbf1)\cdot(0 + 1\mathbf1) = a$.

-- Сб май 19, 2018 02:33:06 --

wooddii в сообщении #1313320 писал(а):

Однако никто не говорил, что исходное кольцо коммутативно!
Значит, нужен другой способ?

Ну, базовая идея в подобных случаях всегда одинаковая: добавляем единицу — операции стали незамкнутыми, так что добавляем то, что надо (наиболее свободным образом — вот те выражения, которые у нас появились благодаря добавленной единице, но не имеют значения, добавляем, но не забываем учесть ограничения, накладываемые аксиомами кольца, так что некоторые из добавленных вещей будут, вероятно, равны). Добавили, но операции опять, возможно, не замкнуты — добавим ещё, и так далее. Интересные и важные детали начинаются, когда любого конечного числа шагов недостаточно: тогда нам нужно как-то определить соответствующий предел.

[Someone]

wooddii в сообщении #1313320 писал(а):

Любую алгебру над коммутативным кольцом, даже не обязательно ассоциативную, можно расширить на одну размерность, добавив элемент 1 и определив умножение на линейных комбинациях как:
$(a_1+b_1\cdot1)\cdot(a_2+b_2\cdot1) = a_1a_2+a_1b_2+a_2b_1+b_1b_2\cdot1$.

Это меня удивляет. Если $\mathbf 1$ — добавляемая единица, то по определению $b\cdot{\mathbf 1}={\mathbf 1}\cdot b=b$ для любого элемента $b$. Поэтому никаких таких линейных комбинаций к кольцу не добавляется, а добавляются совсем другие элементы.

[wooddii]

Someone в сообщении #1313339 писал(а):

wooddii в сообщении #1313320 писал(а):

Любую алгебру над коммутативным кольцом, даже не обязательно ассоциативную, можно расширить на одну размерность, добавив элемент 1 и определив умножение на линейных комбинациях как:
$(a_1+b_1\cdot1)\cdot(a_2+b_2\cdot1) = a_1a_2+a_1b_2+a_2b_1+b_1b_2\cdot1$.

Это меня удивляет. Если $\mathbf 1$ — добавляемая единица, то по определению $b\cdot{\mathbf 1}={\mathbf 1}\cdot b=b$ для любого элемента $b$. Поэтому никаких таких линейных комбинаций к кольцу не добавляется, а добавляются совсем другие элементы.

Ну, все элементы складываем с 1, добавляем те, которых не было. Вновь добавленные элементы складываем и умножаем между собой, опять добавляем те, которых нет и т.д.

-- 19.05.2018, 12:29 --

arseniiv в сообщении #1313331 писал(а):

wooddii в сообщении #1313320 писал(а):

Однако никто не говорил, что исходное кольцо коммутативно!
Значит, нужен другой способ?

Ну, базовая идея в подобных случаях всегда одинаковая: добавляем единицу — операции стали незамкнутыми, так что добавляем то, что надо (наиболее свободным образом — вот те выражения, которые у нас появились благодаря добавленной единице, но не имеют значения, добавляем, но не забываем учесть ограничения, накладываемые аксиомами кольца, так что некоторые из добавленных вещей будут, вероятно, равны). Добавили, но операции опять, возможно, не замкнуты — добавим ещё, и так далее. Интересные и важные детали начинаются, когда любого конечного числа шагов недостаточно: тогда нам нужно как-то определить соответствующий предел.

Однако такое можно сделать для любого кольца!
Значит, берем исходное кольцо. Пусть это $R$. Добавляем туда единицу и элементы как указано выше. Получается кольцо с единицей. Пусть это $S$. Исходное кольцо $R$ является подкольцом $S$. Ну и соответственно $R$ изоморфно самому себе получается, а задача решена?

[arseniiv]

wooddii в сообщении #1313395 писал(а):

а задача решена?

Так самое-то важное вы мимо пробежали:

wooddii в сообщении #1313395 писал(а):

Добавляем туда единицу и элементы как указано выше. Получается кольцо с единицей.

Выше не указано, что делать, если каждый раз получается всё большее и большее множество и никак не устаканивается. Надо или показать, что такого не бывает, или предложить какую-то предельную процедуру (скажем, объединить все такие множества) — однако же и тогда надо показать, что дальше изменений уже не будет (или они будут, и надо закапываться в ординалы). Я вот честно не помню, что бывает, а чего не бывает, но нельзя же просто решить, что всё будет хорошо и оставить это, да и задание тогда будет уж совсем простым.

[Someone]

По-моему, искомое множество допускает явное и совсем простое описание.

[wooddii]

Someone в сообщении #1313510 писал(а):

По-моему, искомое множество допускает явное и совсем простое описание.

Ну, допустим, когда строим какое-нибудь $\mathbb{Z}$[$\sqrt{3}$], оно выглядит как $a+\sqrt{3}\cdot b$, где $a,b \in \mathbb{Z}$.

Получается, в моём случае новое кольцо будет выглядеть как $a+b$, где $a,b$ принадлежат исходному кольцу.
Или совсем все не так?)