2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение03.05.2018, 22:08 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
Найдите бесконечное семейство героновых треугольников, у каждого из которых:
одна из сторон имеет длину 1, высота, опущенная на эту сторону, имеет целую длину
и все длины этих высот для треугольников семейства различны.
(Для справки: по определению в героновом треугольнике все длины сторон и площадь - рациональные числа).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение04.05.2018, 10:01 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1309861 писал(а):
бесконечное семейство... и все длины... различны.

Хоть бы на один посмотреть. Нельзя ли численный пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение04.05.2018, 16:00 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
$3$ - это наименьшее целое, которое может быть длиной высоты в героновом треугольнике со стороной длины 1, на которую эта высота опущена. Этот треугольник $(1,13/4,15/4)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение04.05.2018, 16:40 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
Это удивительно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение05.05.2018, 12:24 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
Вот ещё геронов треугольник с длиной высоты $3$ и длиной стороны $1$: $\left(1,\dfrac{11881}{3640},\dfrac{13729}{3640}\right)$. Таких треугольников бесконечно много (но это уже другая тема).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение06.05.2018, 12:05 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
$$1, \dfrac{cd \left ( (2a^2b^2+1)^2-(2ab)^2 \right )}{2ab \left ( (ac)^2+(bd)^2 \right )}, \dfrac{(2ab^3d+c)(2a^3bc-d)}{2ab \left ( (ac)^2+(bd)^2 \right )}.$$ $$h=\dfrac{cd(2ab^3d+c)(2a^3bc-d)}{\left ( (ac)^2+(bd)^2 \right )^2}$$ Тут $a,b,c,d$ - целые аргументы, условия сократимости последней дроби таковы: $4(ab)^4 \equiv -1 \mod m$ для некоторого нечетного $m= (ac)^2+(bd)^2$ при правильном выборе знаков $c,d$. Примеру $(1,13/4,15/4)$ соответствуют $a=2,b=c=d=1$. Конечно это связано с перебором значений, но на большее меня не хватило. Для $m=13=(3\cdot 1)^2+(2\cdot 1)^2$ находим $4\cdot (3\cdot 1)^4 \equiv -1 \mod 13$, тогда $a=3,b=1,c=1,d=2.$ Отсюда решение $\left ( 1,\dfrac{25}{3},\dfrac{26}{3} \right );$ $h=8$.
Возможен еще вариант, но видимо эта схема проходит не по любому модулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение06.05.2018, 18:46 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
Один из вариантов решения:
элемент бесконечного семейства - треугольник $\left(1,\dfrac{2N^3-N-1}{2N},\dfrac{2N^3-N+1}{2N}\right)$ и $h=N^2-1$,
где $N>1$ натуральное число.
Если вспомнить параметризацию для сторон геронова треугольника $a=L(u-1/u+v-1/v),b=L(u+1/u),c=L(v+1/v)$, то полагая
$u=\dfrac{N}{N+1}, v=\dfrac{N}{N-1}, L=\dfrac{N^2-1}{2}$, получим искомое бесконечное семейство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение08.05.2018, 22:03 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
Одно замечание.
Все героновы треугольники из предложенного бесконечного семейства тупоугольные.
Интересно найти остроугольный геронов треугольник с длиной одной из сторон $1$ и целой длиной высоты, опущенной на неё,
или доказать отсутствие таких треугольников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение09.05.2018, 12:09 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
scwec, для меня Ваши замечательные подмены - что-то вроде волшебства. Моё решение сыровато: для заданного $m$ существует способ обойтись без факторизации и перебора, его пока не выкладываю. Бесконечную серию можно получить при $ac=bd+1$, причем для простых $m$ похоже это единственное решение и наименее тупоугольное. Видимо, тут зависимость от $(ac)^2-(bd)^2$, тогда самый "не пизанский" треугольник - как раз из Вашего первого примера. Для составных модулей могут быть другие решения, описать которые пока не удается.

Всех с праздником!

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение09.05.2018, 18:57 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
Для параметров $u,v,L$ есть бесконечное число выборов, приводящих к различным бесконечным семействам.
Приведу ещё один набор.
$u=\dfrac{2N(N+1)(2N^2-2N+1)}{(-1+N)(2N^2-1)(2N^2+2N+1)}$
$v=\dfrac{(N+1)(2N^2-1)(2N^2-2N+1)}{2N(-1+N)(2N^2+2N+1)}$
$L=\dfrac{N^2-1}{2}$
Соответственно треугольники имеют длины сторон:
$a=1$
$b=\dfrac{16N^{10}-16N^8-16N^7+8N^6+40N^5-20N^3+N^2+2N+1}{4N(2N^2-1)(2N^2+2N+1)(2N^2-2N+1)}$
$c=\dfrac{16N^{10}-16N^8+16N^7+8N^6-40N^5+20N^3+N^2-2N+1}{4N(2N^2-1)(2N^2+2N+1)(2N^2-2N+1)}$
Длина высоты $h=N^2-1$
Возможность множества выборов имеет причину в том, что в семействе эллиптических кривых, характеризующих героновы треугольники со стороной длины $1$ и длиной высоты на неё опущенной $h$,
$W^2=U^3+(1+2h^2)U^2+h^4{U}$, где $h$ - натуральное число, при $h=N^2-1$, все кривые имеют ненулевой ранг и на них можно найти рациональные точки бесконечного порядка.
Это обстоятельство всё и решает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение10.05.2018, 15:43 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
Моё решение свелось в результате в точности к Вашему первому (с кубами, $N=ab$) за исключением тривиальных случаев. А вопрос всего лишь об условиях сократимости дроби $\dfrac{2abcd}{(ac+bd)(ad-bc)}$. Красивая задача. Может и есть решение на языке сравнений, кто знает. Вот всплыли по ходу два неожиданных тождества: $$4n^4+1=\left ( (n-1)^2+n^2 \right )\left ( n^2+(n+1)^2 \right )$$ $$(2n+1)^4+4=\left ( (2n)^2+1 \right )\left ( (2n+2)^2+1 \right )$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение10.05.2018, 16:22 


14/01/11
2083
Andrey A в сообщении #1311455 писал(а):
Вот всплыли по ходу два неожиданных тождества

Которые на поверку оказываются частными случаями ещё более неожиданного:
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение10.05.2018, 16:54 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
Ну, отсюда и вывел. Однако же, что $n^4+4$ - всегда составное число (или /4) - не зналЪ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение11.05.2018, 22:16 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
Sender в сообщении #1311466 писал(а):
Которые на поверку оказываются частными случаями ещё более неожиданного:

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$

Но это популярное тождество само является лишь частным элементом мира "Multiplicative Domain" из "Diophantine analysis" Роберта Кармайкла.

По теме обсуждения: кроме $h=N^2-1$, есть бесконечно много других значений $h$, для которых существуют героновы треугольники со стороной $1$.
Привожу все эти значения $h$ до 200 (вместе с $h=N^2-1$):
Код:
h=3,5,7,8,10,13,15,18,21,24,27,30,35,37,39,40,41,42,43,44,47,48,49,51,52,55,57,58,60,61,62,63,64,67,68,
70,71,72,73,74,76,77,80,81,86,88,91,93,95,99,103,105,106,107,110,111,112,116,117,118,119,120,123,124,125,
128,129,132,133,134,135,136,138,140,141,142,143,145,148,152,154,155,157,159,160,163,164,168,169,172,174,
176,177,180,182,183,184,185,187,188,190,191,193,195,197,199

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное семейство героновых треугольников
Сообщение14.05.2018, 21:51 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
Приведу численные примеры героновых треугольников для некоторых $h$ из вышеприведенного списка ($h\ne{N^2-1}$)
$h=5$ -> $\left(1,\dfrac{949}{84},\dfrac{1025}{84}\right)$
$h=7$ ->$\left(1,\dfrac{9919}{792},\dfrac{10585}{792}\right)$
$h=10$ -> $\left(1,\dfrac{965}{84},\dfrac{1009}{84}\right)$
$h=13$ -> $\left(1,\dfrac{5738365}{259692},\dfrac{5950321}{259692}\right)$
$h=27$ -> $\left(1,\dfrac{119197}{1364},\dfrac{120495}{1364}\right)$
$h=30$ -> $\left(1,\dfrac{1347}{28},\dfrac{1369}{28}\right)$
$h=40$ -> $\left(1,\dfrac{18649}{231},\dfrac{18850}{231}\right)$
Выбирались треугольники с не слишком громоздкими длинами сторон и занимающими небольшое время для вычислений.
Но уже в пределах первой сотни встречаются экземпляры, вычисление для которых (например, для $h=67$) совершенно неподъёмно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group