Разложение по степеням

[Turbid]

Помогите, пожалуйста, разложить по степеням $\Delta z$

$\frac{-T(z)\cdot\frac{dx(z)}{dz}}{\Delta z\sqrt{1+(\frac{dx(z)}{dz})^2+(\frac{dy(z)}{dz})^2}}+\frac{T(z+\Delta z)\cdot\frac{dx(z+\Delta z)}{dz}}{\Delta z\sqrt{1+(\frac{dx(z+\Delta z)}{dz})^2+(\frac{dy(z+\Delta z)}{dz})^2}}$

Возможно, стоит использовать формулу $f(x+\Delta x)=f(x)+f'(x)\cdot\Delta x + 1/2\cdot f''(x)\cdot(\Delta x)^2+$... и отбросить все слагаемые после первых двух(оставить только сумму функции и производной функции умноженной на $\Delta z$).
Тогда получается $T(z+\Delta z) = T(z) +\frac{dT}{dz}\cdot\Delta z$
Могу ли я также расписать $\frac{dx(z+\Delta z)}{dz}$ по этой формуле или это идиотизм?
$\frac{dx(z+\Delta z)}{dz}=\frac{dx(z)}{dz}+\frac{d^2x(z)}{dz}\cdot\Delta z$

Возможно можно использовать какую-то другую формулу(просьба подсказать какую) для открытия скобок под функцией T и под корнем второго слагаемого, чтобы упростить формулу и привести к общему знаменателю.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[alcoholist]

Turbid
у вас в одной формуле и дифференциалы

Turbid в сообщении #1311412 писал(а):

Могу ли я также расписать $\frac{dx(z+\Delta z)}{dz}$ по этой формуле

Можете. Только расписывайте так в числителе, в знаменателе приращение несущественно

[Turbid]

alcoholist в сообщении #1311673 писал(а):

Turbid
у вас в одной формуле и дифференциалы

Turbid в сообщении #1311412 писал(а):

Могу ли я также расписать $\frac{dx(z+\Delta z)}{dz}$ по этой формуле

Можете. Только расписывайте так в числителе, в знаменателе приращение несущественно

Если приращение не существенное, то по идее я могу считать знаменатели равнозначными?
Для краткости написания тогда опустим аргумент $z$ у производных и функций
Тогда домножив обе дроби на знаменатель (чтобы избавиться от него) получится:
$\frac{-T\cdot \frac{dx}{dz}}{\Delta z} + \frac{(T+\frac{dT}{dz}\cdot\Delta z)\cdot (\frac{dx}{dz}+\frac{d^2x}{dz}\cdot\Delta z)}{\Delta z}$
Раскрыв скобки уйдет 1 выражение и останется:
$T\cdot\frac{d^2x}{dz^2}+\frac{dT}{dz}\cdot\frac{dx}{dz}+\frac{dT}{dz}\cdot\frac{d^2x}{dz^2}\cdot\Delta z$
Первое и второе выражение ок, но что я могу сделать с $\frac{dT}{dz}\cdot\frac{d^2x}{dz^2}\cdot\Delta z$ ?

[alcoholist]

alcoholist в сообщении #1311673 писал(а):

в знаменателе приращение несущественно

это я поторопился, извините, там надо как и тут:

Turbid в сообщении #1311412 писал(а):

$\frac{dx(z+\Delta z)}{dz}=\frac{dx(z)}{dz}+\frac{d^2x(z)}{dz}\cdot\Delta z$

и одну и другую производную
А каково исходное задание-то? может быть и без таких сложностей обойдетесь

[Turbid]

alcoholist в сообщении #1311707 писал(а):

alcoholist в сообщении #1311673 писал(а):

в знаменателе приращение несущественно

это я поторопился, извините, там надо как и тут:

Turbid в сообщении #1311412 писал(а):

$\frac{dx(z+\Delta z)}{dz}=\frac{dx(z)}{dz}+\frac{d^2x(z)}{dz}\cdot\Delta z$

и одну и другую производную
А каково исходное задание-то? может быть и без таких сложностей обойдетесь

А если я перейду к пределу

$$$\lim\limits_{\Delta z\to0}^{}$$$

, то я могу считать знаменатели равнозначными?
И могу ли я тогда $\frac{dT}{dz}\cdot\frac{d^2x}{dz^2}\cdot\Delta z$ считать равным нулю?

По поводу задачи, то это часть сил, действующих на нить (в примере указана проекция на Ox). По идее мне нужно разложить по степеням $\Delta z$, разделить на $\Delta z$ и перейти к пределу $\Delta z\to0$

[Lia]

Изначально было следующее задание: разложив по степеням $\Delta z$, получить значение предела исходного выражения при $\Delta z\to 0$. В таком виде оно более осмысленно, по крайней мере, вторая его часть.
По поводу вычисления предела я уже оставляла свой комментарий:

Lia в сообщении #1311419 писал(а):

Вам пренепременно разложить надо или все же предел найти? Потому как предел ищется устно всеми, кто знает определение производной.

И это так, только функцию надо выбрать удачно, а до сих пор этого не происходило.
С этой целью раскладывать по степеням совершенно незачем, и очень похоже на специфический юмор.
Однако же, если вдруг научиться считать предел, и функцию выбирать подходящую, то можно воспользоваться для нее же формулой Тейлора, и собственно, все.
Определение производной Вы как-то писали в одной из версий своей правки, попробуйте написать еще раз, для какой-то $f'(x)$, и выбрать $f$ удачным образом, глядя на Ваше выражение.

-- 11.05.2018, 18:01 --

Turbid в сообщении #1311719 писал(а):

По идее мне нужно разложить по степеням $\Delta z$, разделить на $\Delta z$ и перейти к пределу $\Delta z\to0$

Зачем? Считайте предел сразу. Чтобы узнать предел, здесь раскладывать незачем.

[Turbid]

Lia в сообщении #1311720 писал(а):

Turbid в сообщении #1311719 писал(а):

По идее мне нужно разложить по степеням $\Delta z$, разделить на $\Delta z$ и перейти к пределу $\Delta z\to0$

Зачем? Считайте предел сразу. Чтобы узнать предел, здесь раскладывать незачем.

Непонятно, что Вы подразумеваете под "выбрать подходящую (удачную) функцию?

[Lia]

Определение производной напишите.
И не надо избыточного цитирования. Пока исправлю, дальше сами.

[Turbid]

Lia в сообщении #1311725 писал(а):

Определение производной

$f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}{\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}$

[alcoholist]

Turbid, вот и вычислите производную от

$$\frac{-T(z)x'(z)}{\sqrt{1+(x'(z))^2+(y'(z))^2}}=-T(z)x'(z)\Bigl((1+(x'(z))^2+(y'(z))^2\Bigr)^{-\frac{1}{2}}$$

только и знать, что формулу для производных произведения, сложной функции и степенной функции

[Turbid]

alcoholist в сообщении #1312285 писал(а):

Turbid, вот и вычислите производную

Вычислил, только перед Вашим выражением знак минуса лишний. Получилось:
$T\frac{d^2x}{dz^2}+\frac{dT}{dz}\cdot\frac{dx}{dz}-\frac{T\frac{dx}{dz}\cdot(\frac{dx}{dz}\cdot\frac{d^2x}{dz^2}+\frac{dy}{dz}\cdot\frac{d^2y}{dz^2})}{1+(\frac{dx}{dz})^2+(\frac{dy}{dz})^2}$

Хотел бы поблагодарить Вас и всех откликнувшихся за помощь в поиске решения. Спасибо.