Записать условие коммутативности для тензора

[Sorrow]

Всем доброго времени суток, я только-только познакомился с тензорами и решил некоторую задачу. Дело в том, что я не знаю, у кого бы спросить, правильно ли я её решил, поэтому решил написать сюда.
Пусть $V$ - конечномерное векторное пространство.
У нас имеется тензор типа $(1, 2)$, то есть элемент тензорного произведения $V \otimes V^* \otimes V^*$
Этот тензор имеет вид

$$\sum_{i, j, k} a^i_{jk} e_{i}\otimes e^j \otimes e^k$$

Тензорам типа $(1, 2)$ соответствуют билинейные отображения $V \times V \rightarrow V$
Нужно записать условие коммутативности для данного тензора. Как я понимаю, нужно получить условие на коэффициенты $a^i_{jk}$, чтобы билинейное отображение, соответствующее данному тензору, обладало свойством симметричности: $g(a, b) = g(b, a)$.
Рассмотрим отображение $\varphi: V \times V^* \times V^* \rightarrow \operatorname{Hom}_{R}(V \times V, V)$
$\varphi: (v, f_{1}, f_{2}) \rightarrow g(a, b) = f_{1}(a)f_{2}(b)v$
Т.к. это полилинейное отображение, то в силу универсального свойства оно единственным образом пропускается через $V \otimes V^* \otimes V^*$.
Т.е. существует единственный гомоморфизм $\psi: V \otimes V^* \otimes V^* \rightarrow \operatorname{Hom}_{R}(V \times V, V)$ такой, что $\varphi = \psi \circ \mu$, где $\mu$ - каноническое отображение $\mu: V \times V^* \times V^* \rightarrow V \otimes V^* \otimes V^*$.
Разложим произвольное билинейное отображение $g \in \operatorname{Hom}_{R}(V \times V, V)$ по координатам:

$$g(a, b) = f_{1}(a)f_{2}(b)v = f_{1}(\sum_{i=1}^n a_ie_i)f_{2}(\sum_{j=1}^n b_j e_j)\sum_{k=1}^n v_k e_k = \sum_{i, j, k} a_{i} b_{j} v_{k}f_{1}(e_{i})f_{2}(e_{j})e_{k} = ...$$

$$ ... = \sum_{i, j, k} a_{i} b_{j} v_{k}\sum_{\alpha=1}^n x_{\alpha}e^{\alpha}(e_{i})\sum_{\beta=1}^n y_{\beta}e^{\beta}(e_{j})e_{k} = \sum_{i, j, k, \alpha, \beta} a_{i} b_{j} v_{k} x_{\alpha} y_{\beta} e^{\alpha}(e_{i}) e^{\beta}(e_{j}) e_{k}$$

Т.к. $e^{i} (e_{j}) = 1$, если $i = j$ и $0$, если $i \neq j$, то сумму можно упростить:

$$ \sum_{i, j, k, \alpha, \beta} a_{i} b_{j} v_{k} x_{\alpha} y_{\beta} e^{\alpha}(e_{i}) e^{\beta}(e_{j}) e_{k} = \sum_{i, j, k} ( a_{i} b_{j} v_{k} x_{i} y_{j} ) e_{k} $$

Понятно, что тензор $\sum_{i, j, k} A^i_{jk} e_{i}\otimes e^j \otimes e^k$ переходит $g$, причем $A^i_{jk} = v_{i} x_{j} y_{k}$ (из суммы, написанной сверху). Условие коммутативности значит, что

$$\sum_{i, j, k} ( a_{i} b_{j} v_{k} x_{i} y_{j} ) e_{k} = \sum_{i, j, k} ( a_{j} b_{i} v_{k} x_{i} y_{j} ) e_{k}$$

То есть $\forall a \in V, b \in V$ с координатами понятно какими:

$$\sum_{i, j, k} ( a_{i} b_{j} A^k_{ij} ) e_{k} = \sum_{i, j, k} ( a_{j} b_{i} A^k_{ij} ) e_{k}$$

Перенесём всё в одну часть, и, тк мы работаем в векторном пространстве над полем, то из равенства нуля суммы следует, что:

$$\sum_{i, j, k} ( A^k_{ij}(a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) ) = 0$$

Перебирая единичные векторы (т.е. векторы, в столбце координат которых лишь в одной позиции единица, а во всех остальных 0) получаем, что $\forall i, j$:

$$\sum_{k} ( A^k_{ij} - A^k_{ji} ) = 0$$

Это я предлагаю выдать в качестве ответа. Это вообще верный ответ? Есть ли косяки в решении? И можно ли его как-то ещё больше улучшить? Заранее спасибо.

[arseniiv]

Контрпример: рассмотрим размерность не меньше 2 и тензор $A$ с такими компонентами в некотором базисе: все нули кроме

$$A^1_{12} = a,\quad A^2_{12} = -a,\quad A^1_{21} = b,\quad A^2_{21} = -b,$$

и $a\ne b$. Тогда ваше условие соблюдено, но

$$A^1_{ij}u^iv^j = A^1_{12}u^1v^2 + A^1_{21}u^2v^1 = au^1v^2 + bu^2v^1\not\equiv au^2v^1 + bu^1v^2 = A^1_{ij}v^iu^j.$$

Правильным ответом должно быть условие $A^k_{ij} - A^k_{ji} = 0$ без суммирования по $k$.

[Xaositect]

Ответ неправильный.

Вы правильно написали, что билинейному отображению $g \colon (a, b) \mapsto f(a)h(b)v$ соответствует тензор $\sum v^i f_j h_k (e_i \otimes e^j \otimes e_k)$ (ну, почти правильно, лучше следить за тем, какие индексы верхние, а какие нижние).
Но у Вас тензор произвольный, а не обязательно именно такой. Если дан произвольный тензор $\sum a^i_{jk} e_i \otimes e^j \otimes e_k$, то как вычислить соответсвующее ему отображение $g$?

[Slav-27]

Надо определить, при каких условиях на числа $a^k_{ij}$ выполняется $a^k_{ij}\omega_ku^iv^j=a^k_{ij}\omega_kv^iu^j$ для всех $\omega, u, v$ (знак суммы я, как это принято, не пишу). Выбирая такие $\omega, u$ и $v$, у которых компоненты нолики-единички, получаем, что необходимо $a^k_{ij}=a^k_{ji}$. Этого же и достаточно.

Задача для школьника из 7 класса на самом деле. Умные слова, которые вы знаете -- это хорошие умные слова, но конкретно здесь от них текста много, а толку мало.

[Sorrow]

Xaositect
Вроде бы как тензору $\sum a^i_{jk} e_i \otimes e^j \otimes e^k$ будет соответствовать билинейное отображение $g(x, y)= \sum (a^i_{jk} x_{j} y_{k})e_{i} $

[Xaositect]

Верно. И равенство $g(x, y) = g(y, x)$ как запишется в этом случае?

[Sorrow]

$ \forall x, y \in V:\sum (a^i_{jk} x_{j} y_{k})e_{i} = \sum (a^i_{jk} x_{k} y_{j})e_{i}$

$\sum a^i_{jk} e_{i}( x_{j} y_{k} - x_{k} y_{j}) = 0$

[Xaositect]

А теперь исключаем произвольные $x, y$ (по билинейности достаточно взять элементы базиса) и $e_i$ (вектор равен 0 если все его координаты равны 0)

[Sorrow]

Разобрался, спасибо за помощь