Функция - ноль на дуге

[MChagall]

$f\in Hol(D)\cap C(D\cup \gamma)$, где $D$ - единичный круг, $\gamma$ - дуга единичной окружности.$f$ на $\gamma$ равна нулю. Доказать, что $f\equiv 0$.

Пусть $g(z)$ - конформное отображение верхней полуплоскости на $D$. Тогда $g^{-1}(\gamma)$ по принципу соответствия границ - это интервал на вещественной оси.
Рассмотрим функции $h(z)=\left\{ \begin{array}{rcl} &f\circ g(z), Im (z)>0& \\ &0, (Im (z)<0)\cup g^{-1}(\gamma)& \\ \end{array} \right.$
и $k(z)$\equiv 0$.

$h(z)$ - голоморфна на $(Im (z)>0)\cup (Im (z)<0)\cup g^{-1}(\gamma)$ по лемме в учебнике Шабата п.41 (принцип симметрии).
По теореме единственности $h(z)\equiv k(z)$. $g(z)$ - не нулевая. Значит $f(z)\equiv 0$.
Может кто посмотреть верно ли я здесь рассуждаю?

[пианист]

Я извиняюсь, но зачем так сложно?
Вроде из теоремы о максимуме гармонической функции сразу получается, нет?

[MChagall]

пианист
Про гармонические функции ничего не было у нас.

[пианист]

ой..

[Brukvalub]

Если нужно проще, то можно перемножить композиции функции с конечным набором поворотов кольца, которые покрывают поворотами заданной дуги всю единичную окружность.

[MChagall]

Brukvalub в сообщении #1311266 писал(а):

Если нужно проще

В принципе, проще не нужно. Просто посмотреть, верное ли моё решение.

[пианист]

Ну если я правильно понял (восстановил) логику, вроде все ок.