Просточисленный многоугольник

[Ktina]

Выпуклый многоугольник на евклидовой плоскости, градусная мера каждого угла которого выражается простым числом, назовём просточисленным, если длина каждой его стороны также выражается простым числом. Какое наименьшее число углов может иметь такой многоугольник? И почему?

[Heart-Shaped Glasses]

Ну четыре угла иметь может: возьмём ромб со стороной, длина которой — простое число. А дальше нужно только подобрать нужные углы (например $(43^{\circ}, 47^{\circ})$).
Про три угла можно в лоб перебором. Идейно так: из соображений чётности понятно, что один из углов равен $2^{\circ}$. Тогда подбираем два других угла, чтобы их градусные меры были простыми. Всего получается 5 пар: $(173^{\circ}, 5^{\circ})$, $(167^{\circ}, 11^{\circ})$, $(149^{\circ}, 29^{\circ})$, $(137^{\circ}, 41^{\circ})$, $(89^{\circ}, 89^{\circ})$. Химичим с теоремой синусов, получаем, что нужно, чтобы существовало такое $k$, чтобы в тройках $(k\sin\alpha, k\sin\beta, k\sin\gamma)$ все три числа были простыми (ну или для начала хотя бы рациональными).
Дальше что-то не пошло, все углы кривые, всё плохо. Может, через формулу Эйлера можно выразить через экспоненты все углы в явном виде и что-то там сообразить, мххх.

[Ktina]

Heart-Shaped Glasses
Большое спасибо!