Уравнение Лагранжа 2-го рода

[roma0398]

Помогите решить задачу по теормеху.
Однородный стержень $OA$ длинной $l$, шарнирно закрепленный на одном конце, опирается на прямоугольный ящик, который может скользить по горизонтальной плоскости. Написать дифференциальное уравнение для угла $\varphi$, если масса стержня равна $m$, масса ящика $m_1$, а высота $h$. Трением пренебречь.



Вот что смог найти сам.
Кинетическая энергия стержня через момент инерции $T_1=\frac{I\omega^2}{2}$, $I=\frac{ml^2}{2}$
$T_1=\frac{ml^2\dot{\varphi}}{6}$
$P=mgh=\frac{mgl\cos\varphi}{2}$

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- оставьте на картинке только чертёж, тем более что условие Вы переписали;
- все обозначения величин должны быть оформлены как формулы - окружайте их знаками доллара;
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: внесены исправления.

-- 04.05.2018, 18:00 --

roma0398
Вы случайно не допустили опечатку в моменте инерции? И попробуйте всё-таки написать уравнение Лагранжа. Сначала просто в общем виде, потом - применительно к задаче.
Кстати, почему в выражении для $P$ появился косинус?

[roma0398]

Eule_A в сообщении #1310025 писал(а):

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: внесены исправления.

-- 04.05.2018, 18:00 --

roma0398
Вы случайно не допустили опечатку в моменте инерции? И попробуйте всё-таки написать уравнение Лагранжа. Сначала просто в общем виде, потом - применительно к задаче.
Кстати, почему в выражении для $P$ появился косинус?

Момент инерции написан правильно, это случай тонкий прямолинейный стержень. Уравнение Лагранжа для этого случая будет выглядеть так $\frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial\dot{\varphi}}) - \frac{\partial{L}}{\partial\varphi} = 0$, где $L = T - P$, кинетическая энергия состоит из суммы кинетической энергии стержня плюс кинетическая энергия ящика.
А в $P$ появился косинус, т. к. с течением времени у нас меняется угол наклона стержня, следовательно и его высота, от которой зависит потенциальная энергия.

[Eule_A]

roma0398 в сообщении #1310029 писал(а):

Момент инерции написан правильно, это случай тонкий прямолинейный стержень.

И почему же тогда кинетическая энергия содержит коэффициент $1/6$?
У момента инерции, справедливости ради, нужно указывать относительно какой оси он берётся. В данном случае понятно, какой. Но коэффициент в моменте инерции в этом случае не $1/2$.

roma0398 в сообщении #1310029 писал(а):

следовательно и его высота, от которой зависит потенциальная энергия.

Да. Только у Вас при $\varphi=0$ высота получается самая большая.

Кстати, будьте аккуратнее с цитатами. Не нужно цитировать всё сообщение. Выделяете нужную часть и нажимаете кнопку "Вставка".

[Walker_XXI]

roma0398 в сообщении #1310029 писал(а):

А в $P$ появился косинус, т. к. с течением времени у нас меняется угол наклона стержня

Проверьте формулу в граничных точках (прямой угол и нулевой)

[roma0398]

Eule_A в сообщении #1310031 писал(а):

Да. Только у Вас при $\varphi=0$ высота получается самая большая.

Walker_XXI в сообщении #1310032 писал(а):

Проверьте формулу в граничных точках (прямой угол и нулевой)

Да, действительно, там будет синус.

Eule_A в сообщении #1310031 писал(а):

И почему же тогда кинетическая энергия содержит коэффициент $1/6$?
У момента инерции, справедливости ради, нужно указывать относительно какой оси он берётся. В данном случае понятно, какой. Но коэффициент в моменте инерции в этом случае не $1/2$.

Не заметил даже после проверки опечатку, $I=\frac{ml^2}{3}$

[Eule_A]

Стало лучше. Теперь отлавливаем следующую опечатку в кинетической энергии. Она просто неправильную размерность имеет. И отрицательной может быть.
После исправления можно бы всё-таки, наконец, записать уравнение Лагранжа. Чего Вам для этого не хватает?

[roma0398]

Eule_A в сообщении #1310040 писал(а):

Чего Вам для этого не хватает?

Как мне кажется нужно найти кинетическую энергию ящика, и сумма двух кинетических энергий и будет той самой $T$ в формуле Лагранжа. И странно, что высоту ящика, данную в условии, мы нигде не использовали. Мне казалось это не избыточное условие

[artur_k]

roma0398 в сообщении #1310048 писал(а):

Как мне кажется нужно найти кинетическую энергию ящика, и сумма двух кинетических энергий и будет той самой $T$ в формуле Лагранжа. И странно, что высоту ящика, данную в условии, мы нигде не использовали. Мне казалось это не избыточное условие

Так найдите кинетическую энергию ящика, может высота для этого и пригодится.

[roma0398]

artur_k в сообщении #1310068 писал(а):

Так найдите кинетическую энергию ящика, может высота для этого и пригодится.

В этом и проблема, не могу понять как ее найти

[artur_k]

roma0398 в сообщении #1310072 писал(а):

В этом и проблема, не могу понять как ее найти

Запишите выражение для кинетической энергии тела, движущегося вдоль оси $x$. А потом выразите $x$ через $\varphi$ и $h$.

[roma0398]

artur_k в сообщении #1310165 писал(а):

Запишите выражение для кинетической энергии тела, движущегося вдоль оси $x$. А потом выразите $x$ через $\varphi$ и $h$.

Спасибо, разобрался.