Задачка из ЕГЭ, тригонометрия - без идей.

[MGM]

Сын показал, и в первый раз в жизни никаких идей по любимой тригонометрии.
$\begin{array}{l} \sqrt { - \sin x} \le \sqrt {{{\cos }^3}x + {{\sin }^2}x} \\ \frac{\pi }{4} < \left| {x + \frac{\pi }{2}} \right| \le 2\pi \\ \end{array}$
Второе неравенство дает:
$ - \frac{{5\pi }}{2} \le x < - \frac{{3\pi }}{4} \cup - \frac{\pi }{4} < x \le \frac{{3\pi }}{2}$
Можно еще подсократить из условия:
$\sin x \le 0$
На вскидку, интуитивно по виду функций, в оставшихся областях возможного решения первое неравенство может выполнятся, а может и не выполнятся.
Как решить это аналитически при наличии кубического косинуса и синусов я даже представить не могу.
Заранее спасибо за ответ.

[ShMaxG]

Сделайте напрашивающуюся замену $y=x+\pi/2$, потом в правом выражении из под знака корня вынесите $\sqrt{\cos{y}}$.

[Someone]

Это что, система неравенств?

Ну, она равносильна системе

$$\begin{cases}\frac{\pi }{4}<\left\lvert x+\frac{\pi}2\right\rvert\leqslant 2\pi,\\ -\sin x\leqslant\cos^3x+\sin^2x, \\ -\sin x\geqslant 0.\end{cases}$$

(Почему?)
Во втором неравенстве переносите все члены в одну часть, квадрат косинуса выражаете через синус, после чего получается разложение на множители.

ShMaxG в сообщении #1309972 писал(а):

из под знака корня вынесите $\sqrt{\cos{y}}$

А косинус точно неотрицателен? (Конечно, этот вопрос адресован, в первую очередь, MGM.)

[MGM]

ShMaxG в сообщении #1309972 писал(а):

Сделайте напрашивающуюся замену $y=x+\pi/2$, потом в правом выражении из под знака корня вынесите $\sqrt{\cos{y}}$.

А что это даст? при замене будет:
$\cos y \le {\sin ^3}y + {\cos ^2}y$

[ShMaxG]

MGM в сообщении #1309990 писал(а):

А что это даст? при замене будет:

Дальше через формулы двойных углов можно прийти к неравенству

$$\sin{y}(1+\cos{y})-\cos{y}\ge0$$

Правда, дальше я вижу только некоторую техническую возню. Сначала нужно записать интервал для $y$, какой он получается с учетом ОДЗ и условия задачи. У меня получается 4 области. Две из них исключаются, одна полностью подходит в это неравенство. Остается только область $y\in (-2\pi,-3\pi/2]$. К сожалению не во всей этой области выполняется указанное неравенство, так что придется находить решение соответствующего уравнения. Так или иначе его можно свести к уравнению 4 степени.

[MGM]

ShMaxG в сообщении #1310005 писал(а):

MGM в сообщении #1309990 писал(а):

А что это даст? при замене будет:

Дальше через формулы двойных углов можно прийти к неравенству

$$\sin{y}(1+\cos{y})-\cos{y}\ge0$$

Правда, дальше я вижу только некоторую техническую возню. Сначала нужно записать интервал для $y$, какой он получается с учетом ОДЗ и условия задачи. У меня получается 4 области. Две из них исключаются, одна полностью подходит в это неравенство. Остается только область $y\in (-2\pi,-3\pi/2]$. К сожалению не во всей этой области выполняется указанное неравенство, так что придется находить решение соответствующего уравнения. Так или иначе его можно свести к уравнению 4 степени.

Спасибо. Но как-то круто для школьников.
Может описка в условии?
Сын и сам получил фото условия в рукописном варианте.

[ShMaxG]

MGM
Рассмотрим уравнение

$$\sin{y}\cos{y}=\cos{y}-\sin{y}$$

Во-первых, $\cos{y}-\sin{y}=\sqrt{2}\sin{\left(\frac{\pi}{4}-y\right)}$, а во-вторых $\sin{y}\cos{y}=(1/2)\sin{2y}$. Отсюда получаем

$$\sin{2y}=2\sqrt{2}\sin{\left(\frac{\pi}{4}-y\right)}$$

Теперь делаем замену $\pi/4-y=z$ и приходим к уравнению

$$\cos{2z}=2\sqrt{2}\sin{z}$$

которое уже понятно как решать.

[DeBill]

ShMaxG в сообщении #1310005 писал(а):

Дальше через формулы двойных углов можно прийти к неравенству

Не понял....

-- 04.05.2018, 23:20 --

А, видимо, Вы решаете для - и так оно, скореее всего, и дОлжно быть - суммы кубов....

[ShMaxG]

DeBill
Ну там $\sin^2{(y/2)}$ появится, когда косинус влево перенесется, и $\sin{y}$ справа через половинный угол выразить, так что сократится. А потом можно к углу $y$ вернуться.

[DeBill]

Ааа! Ну да. Или: $\sin^3y =\sin y\cdot (1-\cos^2y)$, и множитель общий - выносится...