Что-то напоминающее теорему Лиувилля

[MChagall]

Две такие задачи:
1) Показать, что голоморфная на компактной римановой поверхности функция является константой.
2) Показать, что ограниченная аналитическая функция в $\mathbb{C}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace$ является константой.

1) Вроде, знаю что делать на связной поверхности. Но что при многосвязной? Рассматриваю на каждой компоненте связности (их ведь конечное число?), на данной компоненте у меня константа. Но на разных компонентах ведь могут быть разные константы? Как быть здесь?
2) Я рассматриваю случаи особенности в точке $0$.
а) не является точкой ветвления. В этом случае у нас однозначная функция, и в силу ограниченности $0$ может быть лишь устранимой точкой. Тогда по теореме Лиувилля она константа. Верно здесь?
б) является точкой ветвления. Тогда в области, например, $\mathbb{C}\setminus [0, +\infty)$ можно выделить однозначную ветвь, на которой функция ограниченна. Но что делать дальше (и не тупиковый ли путь вообще) не знаю. Кто что может посоветовать здесь?

[vpb]

1) Не уверен, что прав, но римановых поверхностей из нескольких компонент связности обычно вообще не рассматривают. А термин "односвязная" означает не наличие единственной компоненты связности, а то, что любой замкнутый путь на этой поверхности гомотопен постоянному (т.е. что любую петлю можно стянуть в точку). Вообще говоря, односвязная компактная риманова поверхность одна ---это риманова сфера, т.е. $\overline{\mathbb C}$. А многосвязные выглядят, топологически, как тор или крендели с несколькими дырками.

2) Пусть $f$ --- указанная аналитическая функция. Рассмотрите функцию $g(z)=f(e^z)$, и покажите, что она голоморфна на всей плоскости. Заметим, что хотя $f$ неоднозначна, записи $g(z)=f(e^z)$ можно придать вполне определенный смысл (подумайте, какой).

[alcoholist]

vpb в сообщении #1308696 писал(а):

как тор или крендели с несколькими дырками

обычно говорят "сфера с ручками")

-- Пн апр 30, 2018 09:30:26 --

1) "Поднимите" функцию на универсальное накрывающее пространство
2) То же самое: склейте счетное количество экземпляров $\mathbb{C}\setminus [0, +\infty)$ по берегам разрезов, определите свою функцию на этом склеенном пространстве (тут пригодится отображение, связанное с тем, которое предложил vpb)

[MChagall]

vpb в сообщении #1308696 писал(а):

голоморфна на всей плоскости

$e^z$ принимает на $\mathbb{C}$ любые значения, кроме нуля. Значит, из теоремы о монодромии следует, что $g(z)$ однозначная голоморфная на всей плоскости. Правильно ли я понимаю, что это значит, что $g(z)$ либо "обычная" голоморфная функция, либо распадается на непереходящие друг в друга голоморфные ветви? И она ограничена. По теореме Лиувилля это константа. Что-то не учёл (где-то не прав)?

alcoholist
Накрытия на лекции не использовались, поэтому хотелось бы обойтись, по возможности, без них.

[Brukvalub]

В монографии Форстера "Римановы поверхности нужный вам факт доказан на стр. 17 в одну строчку без всяких накрытий-покрытий.

[vpb]

MChagall в сообщении #1308948 писал(а):

принимает на $\mathbb{C}$ любые значения, кроме нуля. Значит, из теоремы о монодромии следует, что $g(z)$ однозначная голоморфная на всей плоскости. Правильно ли я понимаю, что это значит, что $g(z)$ либо "обычная" голоморфная функция, либо распадается на непереходящие друг в друга голоморфные ветви? И она ограничена. По теореме Лиувилля это константа. Что-то не учёл (где-то не прав)?

Нет, всё правильно. Можете считать задачу решенной. Накрытия-покрытия тут действительно не нужны (явно во всяком случае), да их на втором курсе и не проходят.

[vpb]

vpb в сообщении #1308984 писал(а):

Значит, из теоремы о монодромии следует, что $g(z)$ однозначная голоморфная на всей плоскости. Правильно ли я понимаю, что это значит, что $g(z)$ либо "обычная" голоморфная функция, либо распадается на непереходящие друг в друга голоморфные ветви?

Все-таки надо уточнить. Возьмем любой элемент аналитической функции $g(z)$, достаточно малого радиуса. Объясните, почему результат его аналитического продолжения --- однозначная голоморфная функция.

[MChagall]

vpb
Рассуждал я так: $g_0(z)$ - аналитический элемент $g(z)$. $g(z)$ - аналитическая функция в $\mathbb{C}$, значит $g_0(z)$ продолжаем вдоль всех путей в $\mathbb{C}$. $\mathbb{C}$ - односвязна, следовательно, по теореме о монодромии, функция, получаемая продолжением $g_0(z)$ вдоль всех путей в $\mathbb{C}$, однозначна в $\mathbb{C}$. Верно?
И остаётся вопрос:

MChagall в сообщении #1308948 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что это значит, что $g(z)$ либо "обычная" голоморфная функция, либо распадается на непереходящие друг в друга голоморфные ветви?

[vpb]

MChagall в сообщении #1309050 писал(а):

Верно

В общем да. На самом деле вопрос методический, ответ зависит от того, что считается известным и очевидным. На второй вопрос ответ положительный.

[MChagall]

vpb в сообщении #1309053 писал(а):

На второй вопрос ответ положительный.

Но тогда возникает вопрос, как и в первой задаче. В случае, когда у нас несколько ветвей, мы доказываем, что функция константа на каждой ветви. Но ведь эти константы могут быть разными. Как здесь разобраться?

[vpb]

У аналитической функции, по определению, от любого элемента можно перейти к любому другому. Иначе говоря, ее риманова поверхность связна. То есть, получается, я был не совсем прав: никуда она не распадается, а просто однозначна.