Тригонометрия (матмех)

[kpierre]

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как решить такую задачу:

$\sin \frac{\pi}{12} \cos 3x = \sin x \sin \frac{\pi}{4}$

Наверное, здесь требуется какая-то хитрая замена, но найти ее никак не получается.

Заранее спасибо.

[Алексей К.]

Если без хитростей (которые пока не придумались), я бы порешал тупо. Разложил бы $\cos 3x$, поделил бы обе части на $\cos x$, оставшийся $\cos^2 x$ тоже через тангенс выразил бы. Далее, любуясь на получившееся (кубическое?) уравнение, снова чесал бы репу.

Добавлено спустя 4 минуты 56 секунд:

Поигрался бы аналогичным способом с коэффицтентами $\sin \frac{\pi}{4}= \sin \left(3\frac{\pi}{12}\right)$, до того как считать $\sin \frac{\pi}{12}$.

[Taras]

Зачем репу-то чесать? Заметим, что $ x=\frac \pi {12} $ - корень.

[Brukvalub]

Замените

\[\sin \frac{\pi }{4}\]

на

\[\cos \frac{\pi }{4}\]

, перенесите все члены в одну часть и поищите в полученной записи формулу тригонометрии.

[Taras]

Cуществует формула для $ \sin \alpha \cdot \cos 3 \beta - \sin \beta \cdot \cos 3 \alpha $ ?

[Алексей К.]

Taras писал(а):

Заметим, что $ x=\frac \pi {12} $ - корень.

Видимо, это замечание подсказывает нам один из корней кубического уравнения, после чего его решить легко.

[Brukvalub]

Taras писал(а):

Cуществует формула для $ \sin \alpha \cdot \cos 3 \beta - \sin \beta \cdot \cos 3 \alpha $ ?

Конечно, только она еще не опубликована! Попробуйте вывести ее самостоятельно

[Taras]

А от если в последнем выражении перейти от произведений в каждом слагаемом к сумме и правильно перегруппировать, то можно выйти на простое уравнение относительно $ \сos 2x , \sin 2x $

[Brukvalub]

Taras писал(а):

А от если в последнем выражении перейти от произведений в каждом слагаемом к сумме и правильно перегруппировать, то можно выйти на простое уравнение относительно $ \сos 2x , \sin 2x $

Вот я и говорю - молодежь может своротить горы, если ей умело руководить!