Математическое ожидание системы случайных величин

[hiraev]

Помогите решить задачу из сборника задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций под редакцией А.А.Свешникова.
Задача 16.32
Пользуясь методом характеристических функций, определить $M[X_1X_2X_3]$, если $X_1$,$X_2$, $X_3$ - нормальные центрированные случайные величины.

$$M[X_1X_2X_3] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}dx_3 \int\limits_{-\infty}^{+\infty}dx_2 \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1f(x_1) \cdot x_2f(x_2) \cdot x_3f(x_3) dx_1 $$

Так как распределения центрированы, значит их мат. ожидания равны 0. Следовательно все интегралы обращаются в ноль и в результате получаем, что

$$M[X_1X_2X_3] = 0$$

Очень сомневаюсь в правильности своего решения, укажите пожалуйста на ошибки, если они есть.

[ShMaxG]

Наверное предполагается, что случайные величины $X_1$, $X_2$, $X_3$ не просто являются нормальными, но являются компонентами нормального случайного вектора $(X_1,X_2,X_3)$. А раз так, то посмотрите в этом сборнике формулу для расчета произвольных моментов нормального вектора через производные характеристической функции. В вашем же решении есть ошибка -- вы предполагаете, что $X_1$, $X_2$, $X_3$ независимы в совокупности, но в условии про это ничего не сказано. Вместе с тем, матожидание это действительно равно нулю.

Просто возьмите формулу для харфункции нормального вектора, формулу для расчета произвольного момента, подставьте выражение для харфункции и получите ответ.

[hiraev]

Формула характеристической функции
$E_{x_1,x_2,x_3}(u_1,u_2,u_3)=M[e^{i\sum\limits_{k=1}^{3}u_k x_k}]= \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i\sum\limits_{k=1}^{3}u_k x_k} f(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3$
Для характеристической функции необходима функция $f(x_1,x_2,x_3)$, но я не знаю какой у нее вид.
До данного раздела задачника не было функции нормального распределения для многомерного вектора.

[ShMaxG]

hiraev
Да нет, вам не эта формула нужна. Вам нужна связь моментов вида $\mathbb{E}X_1^r X_2^q \dots X_n^s$ с производными от характеристической функции нормального вектора.

[hiraev]

Нашел формулу плотности для трехмерного вектора. При мат. ожиданиях равных нулю, она принимает следующий вид.

$f(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{ (2\pi)^{\frac{3}{2}}\sigma_{x_1}\sigma_{x_2}\sigma_{x_3} } e^{-\frac{1}{2}[\frac{x^2}{\sigma^2_{x_1}}+\frac{x^2}{\sigma^2_{x_2}}+\frac{x^2}{\sigma^2_{x_3}}]}$

А насчет связи, она ведь требует вычисления характеристической функции, которую я написал в предыдущем сообщении.

$M[X^{r_1}_1X^{r_2}_2X^{r_3}_3]=i^{-\sum\limits_{k=1}^{n}r_k}\frac{\partial^{r_1+...+r_n}E_{x_1,x_2,...,x_n}(u_1,u_2,...u_3)}{\partial u_1^{r_1}...\partial u_n^{r_n}} | _{u_1=...=u_n=0}$

И еще не пойму, что здесь значат $r_k$

[ShMaxG]

hiraev в сообщении #1307778 писал(а):

ашел формулу плотности для трехмерного вектора.

Окей, но вам она не нужна.

hiraev в сообщении #1307778 писал(а):

И еще не пойму, что здесь значат $r_k$

Это произвольные натуральные (включая ноль) числа. Подумайте, чему они равны в вашем случае.

[hiraev]

Видимо, они все равны единицам
Но все же, нужно ведь как-то вычислить характеристическую функцию.

[ShMaxG]

hiraev в сообщении #1307782 писал(а):

Видимо, они все равны единицам

Да.

hiraev в сообщении #1307782 писал(а):

Но все же, нужно ведь как-то вычислить характеристическую функцию.

Характеристическая функция нормального вектора -- это известная вещь. Очень известная. Настолько, что вообще-то нормальные векторы обычно определяются через характеристическую функцию :) И в Свешникове она есть. У вас какое издание? У меня 2008 г., изд. 4, стереот., страница 92 в самом низу.

[hiraev]

Да, вижу, спасибо). Сейчас попробую ее продифференцировать.