Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной

[EtCetera]

Пусть дана прямоугольная вещественнозначная матрица $A_{n\times m}$ ($n\ne m$). Определим для нее обратную матрицу $A^*_{m\times n}$ следующим образом:

$$\begin{cases}A_{n\times m}A^*_{m\times n}&=E_{n\times n}\\A^*_{m\times n}A_{n\times m}&=E_{m\times m}\end{cases}$$

Здесь $E_{k\times k}$ — единичная матрица размера $k$. Можно ли элементарным образом показать, что матрицы $A^*_{m\times n}$, удовлетворяющей обоим указанным соотношениям, не существует?

Пытался посмотреть на это с точки зрения системы линейных уравнений. Имеем $nm$ неизвестных (элементы матрицы $A^*_{m\times n}$) и $n^2+m^2$ уравнений. $n^2+m^2>nm$ (для $n,m\in\mathbb{N}$), однако часть уравнений может быть линейно зависима (иначе для квадратных матриц обратных тоже не существовало бы). Навскидку определить максимальное количество линейно зависимых уравнений в данном случае вроде бы не получается. Поскольку $(n-m)^2\ge 0$ (причем равенство достигается только при $n=m$), то было бы неплохо, если бы это максимальное количество оказалось ограничено величиной $nm$. В противном случае тут нужно искать совсем иной подход (если, конечно, некое элементарное доказательство в данном случае вообще возможно).

[g______d]

EtCetera в сообщении #1307040 писал(а):

Пытался посмотреть на это с точки зрения системы линейных уравнений.

Нелинейных же.

[alcoholist]

g______d в сообщении #1307044 писал(а):

Нелинейных же

На элементы $A^*$ линейные соотношения

[mihaild]

Пусть $n > m$. Тогда есть ненулевой вектор $v$ такой что $vA = 0$. Домножив первое уравнение слева на $v$ получим $vE = 0$, откуда $v = 0$.
Тут нужно показать, что если строк больше чем столбцев, то есть нетривиальная линейная комбинация строк, равная нулю. Но что-то в этом духе в любом случае понадобится.

[tolstopuz]

Ранг произведения матриц не превышает минимального из рангов сомножителей.

[alcoholist]

EtCetera в сообщении #1307040 писал(а):

Можно ли элементарным образом показать

Следы вычислите

[Евгений Машеров]

Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей.

[Mikhail_K]

Любую матрицу $A$ можно толковать как линейный оператор, переводящий каждый вектор-столбец $x$ нужного размера в вектор-столбец $Ax$. И наоборот.

Итак, пусть $A:\,\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ - линейный оператор, ищем линейный оператор $A^*:\,\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ такой, что $AA^*x=x$ для всех $x\in\mathbb{R}^n$ и $A^*Ax=x$ для всех $x\in\mathbb{R}^m$.

Пусть $x\in\mathbb{R}^m$. Тогда $A^*Ax=x$, так что $x$ принадлежит образу оператора $A^*:\,\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$.
Мы видим, что этот образ совпадает с $\mathbb{R}^m$.
С другой стороны, он является линейной оболочкой образов векторов базиса в $\mathbb{R}^n$ и имеет размерность $\leq n$. Поэтому $m\leq n$.

Пусть теперь $y\in\mathbb{R}^n$. Тогда $AA^*y=y$ и, тем самым, $y$ принадлежит образу оператора $A:\,\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$.
Мы видим, что этот образ совпадает с $\mathbb{R}^n$.
С другой стороны, он является линейной оболочкой образов векторов базиса в $\mathbb{R}^m$ и имеет размерность $\leq m$. Поэтому $n\leq m$.

Такие дела.

[Markiyan Hirnyk]

Посмотрите на псевдообратную матрицу. По ссылке можно перейти на русскоязычную версию.

[ozheredov]

tolstopuz в сообщении #1307054 писал(а):

Ранг произведения матриц не превышает минимального из рангов сомножителей.

Евгений Машеров в сообщении #1307056 писал(а):

Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей.

Это одинаковые утверждения, не?

[arseniiv]

Эквивалентные.

[EtCetera]

Большое спасибо всем откликнувшимся!

tolstopuz, Евгений Машеров, действительно, через ранги, наверное, проще всего.
mihaild, alcoholist, Mikhail_K, спасибо за пищу для размышлений! Постараюсь переварить.

Markiyan Hirnyk в сообщении #1307068 писал(а):

Посмотрите на псевдообратную матрицу.

Спасибо, я знаю про псевдообратную матрицу, но не слишком хорошо понимаю, как она может помочь в этом вопросе.

[alcoholist]

EtCetera в сообщении #1307763 писал(а):

Постараюсь переварить

Пусть $n\ne m$. С одной стороны

$$ \operatorname{Sp}AA^*=\sum_{i,j}a_{ij}a^*_{ji}=\sum_{i,j}a^*_{ji}a_{ij}=\operatorname{Sp}A^*A, $$

а с другой

$$ \operatorname{Sp}AA^*=\operatorname{Sp}E_{n\times n}=n\ne \operatorname{Sp}A^*A=\operatorname{Sp}E_{m\times m}=m. $$

Тогда как соображения с рангами опираются на теорему о ранге произведения.

[TOTAL]

$A_{n\times m}A^*_{m\times n}&=E_{n\times n}$
Если $n>m$, то большое число ненулевых векторов с маленьким числом компонент попарно ортогональны. Этого не может быть.

Я подумал, что звездочка - это транспонированная.

[EtCetera]

alcoholist
Здорово! Спасибо!