10 чисел по окружности (по мотивам задачи С. Берлова)

[Ktina]

Можно ли 10 попарно различных целых (не обязательно положительных) чисел расставить по окружности таким образом, что сумма любых двух рядом стоящих чисел будет степенью двойки (с натуральным показателем)?

[waxtep]

Можно: $1,3,-1,5,-3,7,-5,9,-7,15$

[Ktina]

waxtep
Большое спасибо!
Как бы обобщить жанный пример на произвольное количество чисел?

[Dendr]

Ktina в сообщении #1306870 писал(а):

waxtep
Большое спасибо!
Как бы обобщить жанный пример на произвольное количество чисел?

При четном несложно. При такой постановке можно заметить, что добавление произвольного числа ко всем элементам через один и вычитание его же из остальных сохранит закономерность. Поэтому без ограничения общностей можно полагать, что один из элементов равен нулю, а все числа, отстоящие от него на четное количество позиций, нулю не равны.
Тогда его соседи - просто степени двойки, числа следующего "уровня" - разность между двумя степенями двойки и так далее:
$\left\lbrace0\right\rbrace\Rightarrow \left\lbrace 2^n,2^m\right\rbrace\Rightarrow \left\lbrace2^k-2^n,2^l-2^m\right\rbrace\Rightarrow ... $

На каком-то шаге два числа должны быть равны - это число, стоящее напротив нуля в круге, и на основе этого попробуем сконструировать набор. Для четырех чисел получим:
$2^k-2^n=2^l-2^m\ne0 ; m\ne n, k\ne n, l\ne m \Rightarrow k\ne l$
$2^k+2^m=2^l+2^n$
Можно видеть, что решения в натуральных числах здесь нет.

Возьмем для 6 чисел:
$\left\lbrace0\right\rbrace\Rightarrow \left\lbrace 2^n,2^m\right\rbrace\Rightarrow \left\lbrace2^k-2^n,2^l-2^m\right\rbrace\Rightarrow \left\lbrace2^p-2^k+2^n=2^q-2^l+2^m\right\rbrace$

Легко видеть, что годится условие $k=l, p=m, q=n$
$\left\lbrace0\right\rbrace\Rightarrow \left\lbrace 2^n,2^m\right\rbrace\Rightarrow \left\lbrace2^k-2^n,2^k-2^m\right\rbrace\Rightarrow \left\lbrace2^m-2^k+2^n\right\rbrace$
Взяв сильно различающиеся n, m, k, мы получим все разные числа (поскольку из запись в двоичной системе будет разная), но несложными манипуляциями можно добиться того же и для близких показателей.
Например, взяв 0, 1 и 2, получим набор (0, 2, 2, -1, 3, 1) - здесь числа уже записаны по кругу. Повторяются двойки? Не беда. Добавим к числам на нечетных местах 2, на четных - вычтем 2. Получаем (2, 0, 4, -3, 5, -1).
Взяв (совершенно наобум) 4, 7, 2 - составим, соответственно, набор (0, 16, -12, 140, -124, 128)

Посмотрим, можно ли получить такую же систему для 8 чисел.
$\left\lbrace0\right\rbrace\Rightarrow \left\lbrace 2^n,2^m\right\rbrace\Rightarrow \left\lbrace2^k-2^n,2^l-2^m\right\rbrace\Rightarrow \left\lbrace2^p-2^k+2^n, 2^q-2^l+2^m\right\rbrace \Rightarrow \left\lbrace 2^r-2^p+2^k-2^n=2^s-2^q+2^l-2^m \right\rbrace $
$2^r+2^k+2^q+2^m=2^s+2^l+2^p+2^n$
Учтитывая $n\ne m, k\ne n, l\ne m, p\ne k, q\ne l, r \ne p, s\ne q$ (иначе будут повторяющиеся числа), после недолгого перебора получаем, например, условие q=n, p=m, r=l, s=k.
Так мы получаем набор, например: (0, 1, 15, -7, 11, 5, -4, 8).

Действуя аналогичным образом, можно получать наборы и из большего четного количества чисел.

Для нечетного количества такой формализуемой системы (пока) не нашлось, но принцип сохраняется, и решения тоже есть: (-1, 3, 5); (-1, 2, 6, -2, 3); (-1, 3, 1, 15, -7, 11, 5)...

Таким образом, можно заключить (для нечетного набора пока только экстраполировать), что решение существует для любого количества, кроме четырех.

[Ktina]

Dendr
Круто! Спасибо большое-пребольшое!