Вариация определителя метрического тензора

[misha.physics]

Здравствуйте! Когда-то я создавал похожую тему topic124531.html, но теперь у меня более интересный вопрос

Есть интеграл действия:

$$S(g^{\mu\nu}, A_{\mu})=\frac{1}{16\pi}\int d^3x\sqrt{-g}(R-2\Lambda+L(F))$$

$L(F)$ - лагранжиан электромагнитного поля.
Берем вариацию по $g^{\mu\nu}$.
Но сначала замечу, что у меня:

$$g\equiv \det|g_{\mu\nu}|=-r^2$$

Теперь, если сначала взять вариацию, а потом вместо $\sqrt{-g}$ подставить $r$, то получится:

$$\frac{1}{16\pi}\int rd^3x{\left\lbrace-\frac{1}{2}(R-2\Lambda+L(F))g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}+R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}+\delta (L(F))\right\rbrace}$$

А если сразу сделать эту подстановку, то прийдется брать вариацию от $r$ по $g^{\mu\nu}$. Понятно, что раз $g_{\mu\nu}$ зависит от $r$, то $r$ зависит от $g^{\mu\nu}$. А можно как-то технически взять эту вариацию от $r$ по $g^{\mu\nu}$? В этом у меня и вопрос :)

(Оффтоп)

А я не знал, что при наборе формул не обязательно набирать теги math. Оказывается достаточноо просто долларов и редактор сам добавит нужные теги