Особые точки

[MChagall]

Определить изолированные особые точки, указать их тип и чем является $z=\infty$.
1) $e^\ctg\frac{\pi}{z}$
2) $\sin e^\frac{1}{z}$

1) Особые точки $z=0; \frac{1}{n}; n\in \mathbb{Z}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace$.
$z=\frac{1}{n}$. Пусть $n=2k$. Тогда $\lim\limits_{z\to 2k^+}e^{\ctg\frac{\pi}{z}}=e^\frac{1}{0^+}=e^{+\infty}=\infty \ne \lim\limits_{z\to 2k^-}e^{\ctg\frac{\pi}{z}}=e^\frac{1}{0^-}=e^{-\infty}=0$. Значит предела не существует и точка существенная. Для $n=2k+1$ аналогично.
$z=0$. При стремлении $z\to 0$ $\frac{1}{z}\to \infty$. Предела котангенса не существует, значит не существует и искомого, значит точка существенная.
$z=\infty$. Аналогично $\frac{1}{n}$, стремление к $+\infty$ - предел $\infty$, к $-\infty$ - 0. Опять существенная.

2) Особая точка лишь $z=0$.

$$\lim\limits_{z\to 0^+}^{}\sin e^\frac{1}{z}=\sin e^{+\infty}=\sin(\infty)$$

- не существует. Точка существенная.
$z=\infty$.

$$\lim\limits_{n\to \infty}^{}\sin e^\frac{1}{z}=\sin 1$$

Точка устранимая.

Опять смущает простота. Не приврал нигде, не проглядел ничего?

[Otta]

MChagall в сообщении #1305434 писал(а):

$z=0$. При стремлении $z\to 0$ $\frac{1}{z}\to \infty$. Предела котангенса не существует, значит не существует и искомого, значит точка существенная.

Она неизолированная особая. Классифицируются на существенные и т.п. только изолированные, это входит в определение.

Все остальное верно.

[vpb]

MChagall в сообщении #1305434 писал(а):

Особая точка лишь $z=0$.

$$\lim\limits_{z\to 0^+}^{}\sin e^\frac{1}{z}=\sin e^{+\infty}=\sin(\infty)$$

- не существует. Точка существенная

Да, она существенная, но формула, которая выше написана --- это не доказательство. Непонятно, что под этими равенствами подразумевается. Если бы я проверял такую работу, я бы такое "решение" не засчитал.

[MChagall]

vpb
Что я имел ввиду:
Будем устремлять $z$ к нулю по действительной оси справа. Тогда $\frac{1}{z}$ будет устремляться к $+\infty$, $e^\frac{1}{z}$ будет также устремляться к положительной бесконечности, ну а синус в данном случае предела не имеет. Где-то обман?

[vpb]

MChagall в сообщении #1305689 писал(а):

Будем устремлять $z$ к нулю по действительной оси справа. Тогда $\frac{1}{z}$ будет устремляться к $+\infty$, $e^\frac{1}{z}$ будет также устремляться к положительной бесконечности, ну а синус в данном случае предела не имеет. Где-то обман?

Нет, обмана нет, но это рассуждение надо было написать. Кроме того, его можно написать и аккуратнее. Например, так.

Покажем, что для каждого $\varepsilon>0$ и каждого $a\in[-1,1]$ существует $x\in(0,\varepsilon)$ такое, что $\sin e^{1/x}=a$. Действительно, так как $\sin x$ периодичен, существует $y>e^{1/\varepsilon}$ такое, что $\sin y=a$. Тогда можно взять $x=1/\ln y$. Таким образом, любое число $a\in[-1,1]$ является частичным пределом $\sin e^{1/x}$ при $x\longrightarrow 0$. И т.д.

[thething]

А не проще в ряд Лорана разложить, вместо этих "строгостей"? Просто как вариант