Почему значение арифметического корня - положительное?

[bssgrad]

Добрый день.
Корень числа $a$ с показателем $n$ - это число, n-я степень которого равна $a$.
Из этого определения следует, что корню положительного числа с четным показателем соответствуют 2 противоположных числа.
Однако, существует понятие арифметического корня, которому соответствует только одно - положительное число.
Хочу понять, почему именно положительное число взято за основу для понятия арифметического корня?
Ответ "потому что так удобно", меня не совсем устраивает, хотелось бы более четкого понимания.

[iifat]

bssgrad в сообщении #1305520 писал(а):

Ответ "потому что так удобно", меня не совсем устраивает

Боюсь, математика вас недостойна. Её устраивает. Причём, удобство понимается по-разному в разных ситуациях. Иногда удобнее квадратный корень рассматривать как многозначную функцию.

[Someone]

bssgrad в сообщении #1305520 писал(а):

Хочу понять, почему именно положительное число взято за основу для понятия арифметического корня?
Ответ "потому что так удобно", меня не совсем устраивает, хотелось бы более четкого понимания.

По-моему, удобство — вполне достаточное основание. Например, в XIX веке число $1$ считалось простым, однако по мере развития математики появлялось всё больше случаев неудобства такого соглашения. И теперь число $1$ не считается ни простым, ни составным.

Что касается корней, то понятие арифметического корня возникло исторически в те времена, когда в Европе к отрицательным числам относились весьма подозрительно и называли их "ложными", поэтому определение корня $n$-ой степени формулируется для неотрицательных чисел. Всё, что выходит за эти рамки — это расширения и обобщения, которые не настолько существенны, чтобы вводить для них специальные обозначения и термины.

[arseniiv]

Ещё дополнение.

В любом случае, вот у нас для однозначного вещественного корня есть два варианта: брать неотрицательный (как сейчас) или брать неположительный. (UPD: Хотя нет, не два, можно ещё страшнее что-то придумать, выбирая разные знаки для разных аргументов. Такие отметём сразу.) Неотрицательный явно лучше, чем неположительный. Почему? Потому что положительные числа выделеннее отрицательных. А это почему? А потому что единица положительна (это можно считать частью определения положительного числа). Ну и, наконец, чем это единица лучше минус единицы? А тем, что она нейтральный элемент по умножению, а вторая нет.

Это не выводит нас за пределы разговора об удобстве, но всяко удовлетворительнее(?)

bssgrad в сообщении #1305520 писал(а):

Ответ "потому что так удобно", меня не совсем устраивает, хотелось бы более четкого понимания.

Тут стоит напомнить, что любые понятия, которые мы выделяем (особенно хорошие полезные понятия) выбираются из невообразимого хаоса всевозможных гипотетических ровно из соображений удобства. Да, бывают случаи, когда в какой-то области нездоровая атмосфера, и там придумывается куча слов или избыточных, или никак не связанных с достаточным числом других вещей — скажем, классификация ради классификации. Но скелет, скажем так, математики к этому не относится, тут всё пропущено через толпы людей.

Другое дело, что основания полезности понятия могут быть не сразу доступны и требовать изучить много чего другого, а не только то, что минимально требуется, чтобы определить его. С этим надо смириться, хотя арифметический корень как раз и не этот случай.

[ИСН]

Можете взять за основу отрицательное и посмотреть, что получится.