Оператор Казимира и классификация представлений алгебры Ли

[ValkerN]

Добрый день!

Столкнулся в литературе по КМ с утверждением, что собственные значения оператора Казимира можно использовать для классификации неприводимых представлений группы Ли. Я не совсем понимаю, откуда это следует...

Мои рассуждения были такие. Оператор Казимира коммутирует со всеми генераторами - то есть со всеми элементами алгебры Ли. У нас есть Лемма Шура, следствием которой является то, что единственной матрицей, коммутирующей с матрицами неприводимых представлений является единичная (с точностью до произвольного числового множителя).
То есть оператор Казимира кратен единичному для неприводимого представления.

Но почему числовые множители, стоящие перед единичной матрицей в операторе Казимира должны быть различными для разных неприводимых представлений? Иначе говоря, почему их можно использовать для классификации неприводимых представлений?

P.S. Можете ли вы посоветовать хорошую учебную литературу на русском по группам Ли и их представлениям, в которой были бы по возможности разобраны "популярные примеры" из физики - группа изоспина SU(2), группа Лоренца SO(1,3)?

[vpb]

Насчет литературы не могу посоветовать, недостаточно ориентируюсь (т.е. я знаю кой-какую литературу, но она для физиков не подойдет). Насчет собственных значений оператора Казимира. А оне и не являются различными, вообще говоря. Когда группа $SU(2)$, они действительно все различны, а для групп потолще --- вообще говоря, нет. Однако, есть аналоги операторов Казимира (элементы из центра универсальной обертывающей алгебры; "классический" оператор Казимира --- квадратичный многочлен от генераторов (сиречь элементов базиса касательной алгебры Ли), а обобщенные операторы --- более высокой степени), и вот эти аналоги, если их достаточно много взять, уже различают все неприводимые представления.

[lek]

Барут А. Рончка Р. Теория представления групп и ее приложения, 1980 (том 1, глава 9).