УМФ. Уравнение теплопроводности с начальным условием на inf

[fenbcn]

Уравнение теплопроводности с начальным условием на бесконечности:

$$ \begin{cases} u_t = a^2 u_x_x\\ \left. {u(x,t)}\right|_{t=0} = u_0(x) \end{cases} $$

$$u_0(+\infty) = B,\qquad u_0(-\infty) = A,\qquad u_0(x)\in\mathbb{C(-\infty,+\infty)}$$

Доказать, что:

$$\lim\limits_{t\to+\infty}{u(x,t)} = \frac{A+B}{2}$$

Кажется, нужно как-то вытащить это из формулы Пуассона: $u(x,t) = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u_0(\xi)\exp(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2t})d\xi$
Но искомый предел получается нулевым.
Смог доказать только в частном случае. Сделаем перенос $u(x,t) = v(x,t) + \frac{A+B}{2}$
Тогда $v(+\infty,0) = \frac{B-A}{2},\quad v(-\infty,0) = -\frac{B-A}{2}$
Если функция $v(x,0)=v_0(x)$ при этом получилась нечетной (специальный случай $u_0(x)$), то: $v(x,t) = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}v_0(\xi)\exp(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2t})d\xi = 0$, и $u(x,t) = \frac{A+B}{2}\quad\forall x,t$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihiv]

Сделайте замену переменной в формуле Пуассона: $s=\dfrac {\xi -x}{2a\sqrt t}$.

[Vince Diesel]

fenbcn в сообщении #1304458 писал(а):

Если функция $v(x,0)=v_0(x)$ при этом получилась нечетной

Это, наблюдение кстати, может сократить ход доказательства, так как любую начальную функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной. Остается доказать, что если предел $u_0$ на бесконечности ноль, то и предел решения равен нулю.

[fenbcn]

mihiv в сообщении #1304480 писал(а):

Сделайте замену переменной в формуле Пуассона: $s=\dfrac {\xi -x}{2a\sqrt t}$.

$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u_0(2a\sqrt{t}s+x)\exp(-s^2)ds$
$\lim\limits_{t\to+\infty}{u(x,t)} = \frac{u_0(+\infty)}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(-s^2)ds = B$
Где-то ошибка?

[mihiv]

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }=\int \limits _0^{+\infty }+\int \limits _{-\infty }^0$

[fenbcn]

$$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u_0(2a\sqrt{t}s+x)\exp(-s^2)ds = I_1 + I_2$$ $$I_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{0}u_0(2a\sqrt{t}s+x)\exp(-s^2)ds$$ $$I_2 = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{+\infty}u_0(2a\sqrt{t}s+x)\exp(-s^2)ds$$ $$\lim\limits_{t\to+\infty}{I_1} = \frac{u_0(+\infty)}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{0}\exp(-s^2)ds = B/2$$ $$\lim\limits_{t\to+\infty}{I_2} = \frac{u_0(+\infty)}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-s^2)ds = B/2$$

[mihiv]

В $I_1$ при больших $t$ аргумент функции $u_0$ отрицателен.

[fenbcn]

И правда. Спасибо!
Только остался вопрос о законности замены: получается, мы полагаем, что $\xi\sim\sqrt{t}$, чтобы $s$ была независимой от $t$. При этом, в исходной записи через $\xi$ (когда та не зависит от $t$) предельный переход не даст правильный ответ