Доказать что интервал (0,1) и отрезок [0,1] не гомеоморфны

[dd210]

Задача из учебника Васильева "Топология для младшекурсников". Читаю его самостоятельно, и вот не могу решить такую задачу. Понятия связности, компактности еще не вводились. Т.е. прямо "из первых принципов" требуется показать.

На stackexchange нашел какое-то доказательство, но тут не все ясно:

Цитата:

Suppose f:[a,b]→(c,d) is a homeomorphism. Observe that f(a)≠f(b) as f is injective and consider the point f(a)+f(b)2 at half the distance between f(a) and f(b). As f is surjective, f(x)=f(a)+f(b)2 for some x∈[a,b].

Now let δ be enough for both the distances between f(x) and f(a), and between f(x) and f(b) to be less than δ and yet the open interval centered at f(x) of radius δ not to cover the whole (c,d).

As f is continuous, there must be an open interval centered at x large enough to contain both a and b and whose image under f is within a distance of δ from f(x). As such an interval must ecompass the whole [a,b], the function f cannot be surjective for δ is chosen in such a way that there're points in (c,d) with a distance from f(x) greater than δ.

В последнем параграфе -- почему такой интервал должен охватывать весь отрезок $[a,b]$? Можно же придумать открытое множество типа $[a,r1) \cup (x- \epsilon ,x+ \epsilon )\cup (r2,b]$.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Обожаю я такой полет педагогической мысли. Вот ясно же что весь смысл в том, что одно множество компактно, а другое нет. Так нет же , мы про компактность ни слова не скажем, а придумаем какое-нибудь доказательство, которое к этой компактности будет неявно сводиться

[vpb]

dd210 в сообщении #1304179 писал(а):

В последнем параграфе

Не параграфе, а абзаце! Параграф в книжке по английски называется "section", а "paragraph" --- это таки абзац. Но это так, о птичках. А то есть люди, которые "general education" переводят как "генеральское образование".

Вопреки тому, что коллега написал, понятия компактности или связности использовать в решении ни в прямом виде, ни в завуалированном не надо.

То, что написано в stackexchange, как-то перемудрёно и запутано. Не знаю, как тут писать, чтобы намекнуть, но не писать полное решение. Скажем, так. Пусть, от противного, $f:[a,b]\longrightarrow(c,d)$ и $g=f^{-1}:(c,d)\longrightarrow[a,b]$ --- взаимно обратные гомеоморфизмы. Покажите, что если $x,y\in[a,b]$, то $f$-образ отрезка с концами $x$, $y$ содержит отрезок с концами $f(x)$, $f(y)$, а если $x,y\in(c,d)$, то $g$-образ отрезка с концами $x$, $y$ содержит отрезок с концами $g(x)$, $g(y)$. Тут надо использовать классическую теорему из матанализа (какую?).

-- 14.04.2018, 16:19 --

Потом надо взять точку $p\in(c,d)$, которая при гомеоморфизме соответствует $a$, и рассмотреть какие-нибудь две точки $p_1,p_2\in(c,d)$, причем $p_1$ слева от $p$, а $p_2$ справа. Тогда .... (конец рассуждения допишите сами, а если не получится, придется еще помочь).

[dd210]

vpb

Большое спасибо!

Цитата:

Тут надо использовать классическую теорему из матанализа (какую?).

Видимо теорему о промежуточном значении?
Тогда предположим, что образ $f$ отрезка $[x,y] \in [a,b]$ не содержит какой-то точки $t$ из отрезка $[f(x), f(y)]$. Это противоречит теореме о промежуточном значении если $f$ непрерывна.

Цитата:

Потом надо взять точку $p\in(c,d)$, которая при гомеоморфизме соответствует $a$, и рассмотреть какие-нибудь две точки $p_1,p_2\in(c,d)$, причем $p_1$ слева от $p$, а $p_2$ справа. Тогда ....

Пусть $p_1$ отображается в $r_1$, а $p_2$ в $r_2$. По той же теореме получаем что образ $[p_1, p]$ включает $[a, r_1]$ а образ $[p, p_2]$ включает $[a, r2]$. Теперь выберем какую-то точку $u$ из отрезка $[a,min(r_1, r_2)]$. Эта точка является образом сразу двух точек при отображении $f^{-1}$, что противоречит определению гомеоморфизма (биективное отображение).

Что во всем этом мне так и осталось неясным..
Получается, осталось доказать эквивалентность определений непрерывности: стандартное из мат. анализа через $(\delta, \epsilon)$ и топологическое (потому что когда мы определеляли гомеоморфизм, мы использовали топологическое определение, а в теореме о неявной функции - определение из мат. анализа). Даже скорее в одну сторону: как из топологического определения и стандартной топологии на $R$ (с базой в виде открытых шаров) будет следовать определение непрерывности из мат. анализа для функции $f: R \rightarrow R$.

Топологическое: отображение $f: X \rightarrow Y$ непрерывно, если прообраз любого открытого множества из $Y$ является открытым множеством в $X$.

Верно ли следующее рассуждение?

Возьмем произвольное $\epsilon > 0$. Предположим, что не существует такого $\delta > 0$, что из $|x-x_0|< \delta$ следует $|f(x_0) - f(x)| < \epsilon$. Рассмотрим интервал $(f(x_0)-\epsilon/2,f(x_0)+\epsilon/2)$. Это открытое множество, а значит его образом является какое-то открытое множество в $[a, b]$, причем это открытое множество включает $x_0$. Выберем такое $\delta$, чтобы шар $|x-x_0|<\delta$ лежал в этом открытом множестве. Образ данного шара лежит в интервале $(f(x_0)-\epsilon/2,f(x_0)+\epsilon/2)$, а значит что мы получили противоречие: нашли такое $\delta$, что из $|x-x_0|< \delta$ следует $|f(x_0) - f(x)| < \epsilon$.

[g______d]

Мне кажется, что младшекурсники в любом случае знают, что непрерывная функция на замкнутом отрезке достигает максимума и минимума (даже если не слышали слова "компактность"). А отсюда всё следует вообще сразу.

[pogulyat_vyshel]

можно еще так.
1) Показать , что любое непрерывное отображение $f:[a,b]\to[a,b]$ имеет неподвижную точку те $f(\tilde x)=\tilde x.$
2) привести пример непрерывного отображения $f:(a,b)\to(a,b)$ которое не имеет неподвижной точки

-- 14.04.2018, 20:28 --

g______d в сообщении #1304218 писал(а):

Мне кажется, что младшекурсники в любом случае знают, что непрерывная функция на замкнутом отрезке достигает максимума и минимума

мы тут задались целью не использовать компактность в принципе

[vpb]

dd210
Всё правильно. Похвально!

dd210 в сообщении #1304215 писал(а):

Верно ли следующее рассуждение?

Верно конечно, это стандартное рассуждение из любого учебника. Я думал, это для Вас уже само собой разумеещееся, как и то, что "топологическое" определение непрерывности и через эпсилон-дельта --- это одно и то же.

dd210 в сообщении #1304215 писал(а):

значит его образом является какое-то открытое множество

не образом, а прообразом

dd210 в сообщении #1304215 писал(а):

а в теореме о неявной функции

аналогично, не в теореме о неявной функции, а в теореме о промежуточном значении. Короче, пишите внимательнее.

g______d в сообщении #1304218 писал(а):

Мне кажется, что младшекурсники в любом случае знают, что непрерывная функция на замкнутом отрезке достигает максимума и минимума (даже если не слышали слова "компактность"). А отсюда всё следует вообще сразу.

Да уж, слона-то я и не приметил.

pogulyat_vyshel в сообщении #1304219 писал(а):

мы тут задались целью не использовать компактность в принципе

Надо сказать, теорему эту Вейерштрасс доказал еще в те годы, когда про компактность и не слыхали (но позже, чем Больцано теорему о промежуточном значении). Да и в учебном курсе она идет раньше, чем общее понятие компактности.

pogulyat_vyshel в сообщении #1304219 писал(а):

можно еще так.
1) Показать , что любое непрерывное отображение $f:[a,b]\to[a,b]$ имеет неподвижную точку те $f(\tilde x)=\tilde x.$
2) привести пример непрерывного отображения $f:(a,b)\to(a,b)$ которое не имеет неподвижной точки

Можно, только это все-таки непростой путь.

[pogulyat_vyshel]

vpb в сообщении #1304226 писал(а):

Можно, только это все-таки непростой путь.

с чего бы это вдруг? таже теорема о промежуточном значении, примененная к функции $u=f(x)-x,\quad u(a)\ge 0,\quad u(b)\le 0$

-- 14.04.2018, 21:38 --

vpb в сообщении #1304226 писал(а):

Вейерштрасс доказал еще в те годы, когда про компактность и не слыхали

ой, бросьте. Все они прекрасно понитмали, может только слов таких не произносили

[vpb]

pogulyat_vyshel в сообщении #1304233 писал(а):

ой, бросьте. Все они прекрасно понитмали, может только слов таких не произносили

Вы судите с позиций сегодняшнего дня, когда все кажется просто и очевидно. А я вот по своему опыту знаю, насколько процесс возникновения новых знаний турбулентен, нелинеен, фрактален, хаотичен и т.д. Короче, криволинейность процесса познания совершенно невообразимая. Что в отдельной голове, что в коллективном разуме в целом. Проецировать наши сегодняшние представления на математиков более чем полуторастолетней давности никаких оснований нет. Точнее, некоторые основания есть, но оч-чень шаткие.

[dd210]

vpb

Цитата:

Верно конечно, это стандартное рассуждение из любого учебника. Я думал, это для Вас уже само собой разумеещееся, как и то, что "топологическое" определение непрерывности и через эпсилон-дельта --- это одно и то же.

Да, просто соседнее упражнение из этого же учебника -- доказать что они гомеоморфны в дискретной топологии. Поэтому я и по-максимуму это все расписываю (чтобы лучше понять, отчего возникает разница с дискретной топологией). С топологией как областью я пока знаком плохо)