Слегка запутался со степенями в интервальной арифметике

[btoom]

Всем доброго времени суток. Не совсем понял, почему при возведении интервала, содержащего ноль, в квадрат, получившийся результат начинается с нуля и как это обосновать.
Книга - Алефельд и Херцбергер "Введение в интервальные вычисления", пункт о комплексной интервальной арифметике.

В книге Шарый (стр. 58) сразу говорится, что если изначально в интервале есть ноль, то квадрат сразу начинается с нуля.

Вопрос - почему? Как это обосновать? Практическим соображением, чтобы между началом и концом знаменателя не было нуля, и все? Это ведь идет в обход стандартного правила, когда начинаем получившийся интервал с минимального значения из четырех комбинаций начал и концов искомых двух интервалов.

[gris]

Вы должны не только концы учитывать, но и все числа в интервале. Это, разумеется, именно "практическое" объяснение.
Например, если мы все числа из интервала $[-2,-5]$ возведём в квадрат, то значения квадратов займут интервал $[4,25]$.
Если мы все числа из интервала $[3,6]$ возведём в квадрат, то значения квадратов займут интервал $[9,36]$.
Если мы все числа из интервала $[-3,4]$ возведём в квадрат, то значения квадратов займут интервал $[?,?]$.

[btoom]

gris в сообщении #1304209 писал(а):

Вы должны не только концы учитывать, но и все числа в интервале. Это, разумеется, именно "практическое" объяснение.
Например, если мы все числа из интервала $[-2,-5]$ возведём в квадрат, то значения квадратов займут интервал $[4,25]$.
Если мы все числа из интервала $[3,6]$ возведём в квадрат, то значения квадратов займут интервал $[9,36]$.
Если мы все числа из интервала $[-3,4]$ возведём в квадрат, то значения квадратов займут интервал $[?,?]$.

Я нашел конспект - у квадратной функции же минимум в нуле. Так понятнее.
С нуля начинаем и при других степенях, на Вики чуть конкретнее об этом.
$[-3,4]^2$ при "обычных" действиях может дать даже варианты $[-12,16]$ и $[9,16]$. Но $[0,16]$.
Благодарю.

[arseniiv]

Тут, на самом деле, изъян интервальной арифметики перед full-blown теорвером: она не учитывает зависимость величин. Если у нас есть две разные величины $A,B$, могущие принимать значения одинаково только в $[x;y]$, их произведение сможет принимать всё-таки все значения из $[\min\{x^2,xy,y^2\};\max\{x^2,xy,y^2\}]$, а не только его ограниченном куске. Хотя $AB = [x;y][x;y]$ это типа должен бы быть квадрат. В итоге пользоваться таким определением квадрата нужно очень осторожно, не превратив ненароком в него какое-нибудь произведение двух одинаковых интервалов, соответствующих в вычислении разным величинам, чьи области изменения совпали нечаянно. (В ручных манипуляциях такую странную ошибку вы совершите вряд ли, но вот если требуется программирование…)