Просьба: дать ссылку.

[Dalexl]

Тонкая упругая пластина с известными длиной, шириной и толщиной одним концом жестко закреплена, на другой действует известная сосредоточенная сила. Как угол отклонения свободного конца пластины зависит от величины силы? Упругие характеристики материала пластины известны. Нужен количественный результат.
Скорее всего, задача элементарна и решена в учебниках. Просьба посоветовать, в каких?
Спасибо!

[Парджеттер]

Если сила, конечно, действует не по всей линии, параллельной линии закрепления, то задача не такая простая и уж конечно не элементарная. Задача-то не с круглой, а с прямоугольной пластиной. Такие задачи очень редко рассматриваются даже в курсах сопротивления материалов.

На данный момент могу посоветовать только ЛЛ-7. Сейчас еще пороюсь.

Добавлено спустя 2 минуты 4 секунды:

Еще кое-что есть в книге
Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости.
Здесь, опять же, общая теория.

Добавлено спустя 3 минуты 26 секунд:

Так. Еще это
Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. — Теория упругости и пластичности
Тут уже есть некоторая конкретика.

Добавлено спустя 2 минуты 22 секунды:

Есть еще решения (без вывода) для конкретных случаев (но не для вашего) нагрузки прямоугольной пластины в классическом руководстве по сопротивлению материалов
Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.
Но это Вам вряд ли пригодится.

[Dalexl]

Парджеттер, большое Вам спасибо!
Посмотрю у Горшкова.
Если что-то подскажете из книг/статей иноземцев, также - спасибо!

[Zai]

Dalexl писал(а):

Как угол отклонения свободного конца пластины зависит от величины силы?

В балочном приближении уравнение Эйлера
$EI \ddot u= P(l-x)
$u(0)=0, \dot u(0)=0
$I= \frac {bh^2} {12}
$EI \dot u= P(lx- \frac {x^2} 2)
$\dot u - угол поворота
Угол поворота на конце стержня
$ \phi= \frac {Pl^2} {2EI}

[Dalexl]

Zai, весьма благодарен!
Поясните, пожалуйста, обозначения (прошу прощения за невежество :)).

[Zai]

b - ширина пластины
h -толщина пластины
P - сила на незакрепленном крае пластины
$l - длина пластины
I - момент инерции сечения балки
E - модуль Юнга

[Парджеттер]

Ну давайте я попробую пояснить, раз Zai сейчас занят.

Zai писал(а):

В балочном приближении уравнение Эйлера
$EI \ddot u= P(l-x)

Это уравнение на прогиб, как было замечено, в балочном приближении. То есть рассматривается не пластина, а балка. Т.к. я не знаю точно условий нагружения в вашем случае, то ошибку подобного подхода оценить тяжело. При определенном виде нагрузки ее вообще не будет.
$E$ - модуль Юнга, $I$ - момент инерции сечения, $P$ - сила, $l$ - длина балки.

Zai писал(а):

$u(0)=0, \dot u(0)=0

Это начальные условия. Исходя из того, что у Вас пластина заделана одним концом, на этом конце прогиб и угол прогиба равны нулю.

Zai писал(а):

$I= \frac {bh^2} {12}

Подсчет момента инерции через геометрические параметры пластины (длину и толщину).

Zai писал(а):

$EI \dot u= P(lx- \frac {x^2} 2)

Проинтегрировали, использовав начальные условия.

Zai писал(а):

$\dot u - угол поворота

Это угол поворота, если прогиб мал. Иначе - тангенс угла. Но, если прогиб не мал, то и уравнение исходное другое будет.

Zai писал(а):

Угол поворота на конце стержня
$ \phi= \frac {Pl^2} {2EI}

Подставляя $l$ в предыдущее выражение.

Добавлено спустя 29 секунд:

Упс, что-то я перестарался. Все уже сделано.... но удалять жалко. Столько времени писал

Добавлено спустя 3 минуты 11 секунд:

Заметил некоторые неточности у себя. Исправил.

[Dalexl]

Уважаемые Zai и Парджеттер, душевное спасибо!
Вот только с размерностями, кажется, неладно: получается, искомый угол имеет размерность длины. Уточните, пожалуйста!

[Zai]

Очень мелкие символы в формуле, поэтому была опечатка, момент инерции определяется соотношением
$I=\frac {bh^3} {12}
b - ширина пластины, $ {m}
h -толщина пластины, $ {m}
P - сила на незакрепленном крае пластины, $ {N}
$l - длина пластины, $ {m}
I - момент инерции сечения балки, $ {m^4}
E - модуль Юнга, $ \frac N {m^2}

[Dalexl]

Спасибо!
А нельзя ли эту формулу вывести из соображений размерности? Например, положив эль и бэ много больше аш.
Немного странна кубическая зависимость от аш.

[Zai]

Dalexl писал(а):

А нельзя ли эту формулу вывести из соображений размерности?

Дифуры из соображений размерности сложно решать. Силовое воздействие на балку характеризуется внешним изгибающим моментом. Это левая часть уравнения. Силовое воздействие зависит только от длины. Момент уравновешивается упругим моментом в сечении балки от напряжений, зависящих линейно от расстояния до нейтральной линии. Упругий момент зависит от кривизны деформированной линии балки. Интегрируя кривизну по длине Вы получаете угол поворота.

[Tau_0]

Точного решения данной задачи не существует. См. Теорию пластин и оболочек…