Существование и единственность решения

[hollo]

Доказать для уравнения $x_n +\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{\ln(\arctg(x_m)+1)}{m^5 +\sqrt[4]{n}+10 }=1$.
где $x$ - последовательность из множества ограниченных последовательностей.

Если я правильно понимаю, то делать нужно через принцип сжимающих отображений
Метрика $\rho(x,y)=\sup\limits_{k}\left\lvert y_k - x_k \right\rvert$
Пусть $x_0$ произвольная последовательность в нашем пространстве,
Пусть $x_1=Ax_0,x_2=Ax_1=A^2x_0$ и тд, то есть $x_n=Ax_{n-1}=A^nx_0$
Чтобы доказать существование решения можно показать, что последовательность фундаментальна.
$\rho(x_n,x_m)=\rho(A^n x_0,A^m x_0)\leqslant a^n \rho(x_0,x_{m-n})\leqslant ... \leqslant a^n \rho(x_0,x_1)\frac{1}{1-a}$ Это из Колмогорова, на странице 82, но как действовать на практике не понятно. Что в моем случае $A$?

[thething]

Абсолютно непонятно, где тут уравнение.. Либо это надо рассматривать, как бесконечную систему уравнений? Тогда в Вашем случае оператор $A$ получится справа, если в левой части оставить только $x_n$ (см. метод простой итерации).

hollo в сообщении #1303141 писал(а):

Чтобы доказать существование решения можно показать, что последовательность фундаментальна.

Зачем фундаментальность, если достаточно доказать, что отображение -- сжимающее (если задача именно на принцип сжимающих отображений)

-- 11.04.2018, 16:39 --

Оператор $A$ выглядит так: $Ax=\left(1-\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{\ln(\arctg(x_m)+1)}{m^5 +\sqrt[4]{1}+10 }, 1-\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{\ln(\arctg(x_m)+1)}{m^5 +\sqrt[4]{2}+10 },...\right)$.
Дальше пробуйте проверить, что $\rho (Ax,Ay)\leqslant q\rho (x,y)$, $q<1$

[dsge]

Будет ли предложенное пространство (бесконечных ог. последовательностей) в предложенной метрике полным?

[DeBill]

hollo
А еще одна проблема, с которой Вам надо побороться - На всем ли пространстве огр. последовательностей будет определен Ваш оператор? Возможно, следует ограничиться единичным шаром (замкнутым)? Или - лучше -работать с последовательностями, члены которых - от 0 до 1? Что Вы можете сказать про сумму ряда - будет ли она меньше 1?

[hollo]

thething в сообщении #1303159 писал(а):

Дальше пробуйте проверить, что $\rho (Ax,Ay)\leqslant q\rho (x,y)$, $q<1$

Это будем верным при $\left\lvert A \right\rvert<q<1$ тк получается что-то такое:
$\rho(Ax,Ay)=\sup\limits_{i}\left\lvert \sum\limits_{j}^{}A(y_j-x_j)\right\rvert\leqslant...\leqslant\sup\limits_{i}\sum\limits_{j}^{}\left\lvert A \right\rvert \sup\limits_{i} \left\lvert y_j-x_j \right\rvert$,а
$\sup\limits_{i} \left\lvert y_j-x_j \right\rvert=\rho$

-- 11.04.2018, 16:47 --

dsge в сообщении #1303163 писал(а):

Будет ли предложенное пространство (бесконечных ог. последовательностей) в предложенной метрике полным?

ограниченных точно да, а вот насчет бесконечных затрудняюсь ответить

[thething]

hollo
Вы чего? Как Вы понимаете модуль $A$, если $A$ -- это просто значок и не имеет смысла без буквы $x$

Плюс индекс суммирования был всю дорогу $m$, а тут у Вас откуда-то $i,j$. Аккуратно распишите метрику, ничего не опуская и не меняя индексов. Супремум будет браться по $n$, а суммирование -- по $m$

[hollo]

thething
$\rho(Ax,Ay)=\sup\limits_{n}\left\lvert \sum\limits_{m}^{}(Ay_j-Ax_j)\right\rvert=\sup\limits_{n}\left\lvert \sum\limits_{m}^{}A(y_j-x_j)\right\rvert$

[thething]

hollo
Ну чего же Вы пишете букву $A$? Я ж Вам выше привел определение Вашего оператора, его и используйте

[hollo]

thething
$\rho(Ax,Ay)=\sup\limits_{n}\left\lvert \sum\limits_{m}^{} (1-\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{\ln(\arctg(y_m)+1)}{m^5 +\sqrt[4]{n}+10 }-1-\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{\ln(\arctg(x_m)+1)}{m^5 +\sqrt[4]{n}+10})\right\rvert$

[thething]

hollo
Упростите, и под одну сумму загоните (и знаки поправьте). Модуль под сумму занесите. Кстати, замечание насчет прошлого Вашего сообщения: оператор Ваш -- нелинейный, т.е. нельзя писать $A(x+y)=Ax+Ay$. И вот тут надо уточнять условие задачи (см. то, что написал DeBill), т.к., например на единичном шаре Вашу нелинейность можно хоть как-то линеаризовать (типа $\ln(\arctg x +1)\sim x$)