Разложение в ряд

[SergeiSX]

Здравствуйте!
Недавно встретил в одной публикации некоторые соотношения. Я пока не буду приводить всю задачу целиком, там довольно много. Приведу лишь некоторую часть решения, которая несколько смущает. Имеются два условия следующего вида:
${n^2}(y_1)={a^2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}{{g_k} \cdot {y_1^{2 \cdot k}}}$ (1)
${n^2}(y_2)=a^2$ (2)
И выражение для ${n^2}(y)$ в виде следующего ряда:
${n^2}(y)={n_0^2}-\sum\limits_{m=1}^{\infty}{c_m \cdot y^{2 \cdot m}}$ (3)
Далее утверждается что, используя соотношения (1) и (2) совместно с (3), можно разложить $y_1$ и $y_2$ по степеням некоторого параметра $\alpha$ где $\alpha=\sqrt{{n_0^2}-a^2}$. Приведу выражение от авторов для $y_2$, оно менее громоздкое(думаю тут важно понять принцип):
$y_2={\frac{\alpha}{\sqrt{c_1}}} \cdot [1 - \frac{c_2}{2 \cdot c_1^2} \cdot \alpha^2 + (\frac{7}{8} \cdot \frac{c_2^2}{c_1^4}-\frac{c_3}{2 \cdot c_1^3}) \cdot \alpha^4 + ...]$
Вот здесь я не совсем понимаю как авторы получили подобное соотношение. Насколько я могу предположить здесь просто правые части выражений (2) и (3) приравниваются друг другу и, далее, мы считаем что у нас сложная функция $F(y_2(\alpha), \alpha)=0$, которую можно разложить в ряд относительно параметра $\alpha$
а именно:
${n_0^2}-{a^2}-\sum\limits_{m=1}^{\infty}{c_m \cdot y^{2 \cdot m}}=0$
или:
${\alpha^2}-\sum\limits_{m=1}^{\infty}{c_m \cdot y^{2 \cdot m}}=0$
Фантазируя дальше предположу, что эту сложную функцию авторы просто раскладывают в ряд Маклорена. И вот здесь наступает ступор у меня. Наверное нужно применить формулу Фаа де Бруно и получить производные этой сложной функции чтобы построить ряд, но что-то не совсем понимаю как это лучше сделать. Или может быть я в своих предположениях ошибся и есть еще какие-то другие методы? Буду рад любой подсказке!

[ex-math]

Это скорее задача обращения степенного ряда. Посмотрите формулу Бюрмана-Лагранжа.

[DeBill]

Это что - преобразование монодромии ищем? Или параметричский резонанс ковыряем?

SergeiSX в сообщении #1303137 писал(а):

что эту сложную функцию авторы просто раскладывают в ряд Маклорена.

Ну да. Только все можно делать и по-простому: подставляем это разложение (из общих соображений видно, что можно разлагать по четным степеням) в уравнение, открываем скобки, приравниваем к-ты, и решаем систему: она хорошая (треугольная).
Попробуйте - и все будет....

[SergeiSX]

ex-math в сообщении #1303177 писал(а):

Это скорее задача обращения степенного ряда. Посмотрите формулу Бюрмана-Лагранжа.

Большое Вам Спасибо! Да, очень похоже все именно на такую задачу. Просто никогда ранее не приходилось этим заниматься.

-- 11.04.2018, 15:52 --

DeBill в сообщении #1303183 писал(а):

Это что - преобразование монодромии ищем? Или параметричский резонанс ковыряем?

Все гораздо проще . Там интегральное уравнение прохождения лучей в диэлектрической линзе. А условия, которые я привел, они граничные. И нужно его решить, а эта часть решения как некая частная задача там присутствует.

DeBill в сообщении #1303183 писал(а):

SergeiSX в сообщении #1303137 писал(а):

что эту сложную функцию авторы просто раскладывают в ряд Маклорена.

Ну да. Только все можно делать и по-простому: подставляем это разложение (из общих соображений видно, что можно разлагать по четным степеням) в уравнение, открываем скобки, приравниваем к-ты, и решаем систему: она хорошая (треугольная).
Попробуйте - и все будет....

Спасибо! То есть, если я правильно понял, можно формально записать искомый ряд с неизвестными коэффициентами и подставить в уравнение, получая СЛАУ ?

[DeBill]

Ага. Только первое уравнение будет нелинейным. А метода так и называется - метод неопределенных коэф-тов. А обоснование его - ссылка на теорему о неявной.

[SergeiSX]

DeBill в сообщении #1303183 писал(а):

Ну да. Только все можно делать и по-простому: подставляем это разложение (из общих соображений видно, что можно разлагать по четным степеням) в уравнение, открываем скобки, приравниваем к-ты, и решаем систему: она хорошая (треугольная).
Попробуйте - и все будет....

Есть еще один нюанс. Если Вы посмотрите на то разложение, которое привели авторы:
$y_2={\frac{\alpha}{\sqrt{c_1}}} \cdot [1 - \frac{c_2}{2 \cdot c_1^2} \cdot \alpha^2 + (\frac{7}{8} \cdot \frac{c_2^2}{c_1^4}-\frac{c_3}{2 \cdot c_1^3}) \cdot \alpha^4 + ...]$
То оно то в итоге по нечетным степеням если внести множитель под скобки! Вот это тоже очень интересно

[DeBill]

А, да, так и дОлжно быть - ибо свободного члена слева нет, ага.

[SergeiSX]

DeBill
Между прочим то что Вы предложили как раз соответствует методу обращения ряда Спасибо большое!

[SergeiSX]

Возник еще один вопрос. А вот если я ищу искомый ряд в виде: $\sum\limits_{m=0}^{\infty}{b_m \cdot \alpha^m}$, то есть со свободным членом, обратится ли свободный член в итоге в нуль? Насколько я понимаю там для свободного члена возникает следующее уравнение: $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{b_0^k}=0$. Оно вообще то по основной теореме алгебры должно иметь как минимум один корень а вообще бесконечное количество корней. Или я неправильно вывел это уравнение, или же нужно доказать что действительный корень только один и он нулевой. Я правильно понимаю ?

[SergeiSX]

Возникает главный вопрос. Я приведу еще раз выкладки дабы не нужно было искать их в предыдущих постах.
Имеется условие: ${n^2}(y_2)=a^2$ (1)
И выражение для ${n^2}(y)$ в виде следующего ряда:
${n^2}(y)={n_0^2}-\sum\limits_{m=1}^{\infty}{c_m \cdot y^{2 \cdot m}}$ (2)
Обозначая $\alpha=\sqrt{{n_0^2}-a^2}$ и используя выражения (1) и (2), представляю $y_2$ в виде ряда по степеням $\alpha$. Делаю следующие выкладки:
${a^2}={n_0^2}-\sum\limits_{m=1}^{\infty}{c_m \cdot y_2^{2 \cdot m}}$
$y_2^2=\frac{\alpha^2}{c_1}-\frac{1}{c_1} \cdot \sum\limits_{m=2}^{\infty}{c_m \cdot y_2^{2 \cdot m}}$ (3)
И собственно теперь необходимо выбрать вид искомого ряда для $y_2$. Если выбрать его в виде:
$\sum\limits_{m=1}^{\infty}{b_m \cdot \alpha^m}$ (4)
то все согласуется с тем что получили авторы оригинальной статьи на эту тему. То есть, как подсказал уважаемый DeBill и как посоветовал уважаемый ex-math, подставляю искомый ряд в виде (4) в уравнение (3), провожу громоздкие преобразования и коэффициенты искомого ряда получаются такими же как в оригинальной статье. Но если я беру искомый ряд в виде:
$\sum\limits_{m=0}^{\infty}{b_m \cdot \alpha^m}$
то есть со свободным членом, то совершенно ничего путного не выходит и вычисления становятся бесконечными. Стало быть мы выбираем вид искомого ряда из каких то соображений. Возможно из тех что исходный ряд в уравнении (3) не имеет свободного члена? Вот здесь несколько путаюсь.

[ex-math]

Возможно, этих функций $y_2(\alpha)$ несколько. Но Вас интересует та, которая равна нулю в нуле. Для нее все дальше и делается. Это напоминает теорему о неявной функции, там тоже накладывается такое начальное условие.

[SergeiSX]

ex-math в сообщении #1303538 писал(а):

Возможно, этих функций $y_2(\alpha)$ несколько. Но Вас интересует та, которая равна нулю в нуле. Для нее все дальше и делается. Это напоминает теорему о неявной функции, там тоже накладывается такое начальное условие.

Спасибо ex-math! Теперь стало понятно!