Истинность может быть только в модели?

[warlock66613]

Известно, что об истинности какого-то утверждения формальной теории можно говорить только в рамках определённой модели. Но как быть с гёделевскими неразрешими утверждениями? Возьмём, например, некоторое неразрешимое утверждение $A$ о несуществовании решения некоторого диофантового уравнения. Поскольку оно неразрешимо, то есть ни оно, ни его отрицание недоказуемо, то мы немедленно делаем вывод, что $A$ истинно (потому что в противном случае было бы истинно $\neg A$, а тогда оно было бы доказуемо подстановкой решения в уравнение). Но вот вопрос - какая модель здесь подразумевется?

Я вижу три варианта.
1. Истинность всё-таки может быть не только в модели.
2. У каждой теории есть какая-то "минимальная" или "стандартная" модель. Но не очень понятно, какое должно быть определение у такого понятия. В частности, насколько мне известно, стандартная модель арифметики - это единое, неделимое понятие, а не применение общего понятия "стандартная модель" к случаю арифметики.
3. $A$ в рассмотренном выше примере истинно во всех моделях. Тогда, несмотря на то, что ни $A$, ни $\neg A$ недоказуемы, после присоединения $\neg A$ в качестве аксиомы, мы должны получить противоречивую теорию.

Что из трёх? Или я упустил ещё варианты?

[Yodine]

(дружеская цитата)

warlock66613 в сообщении #1302309 писал(а):

Так что учите всё-таки физику математику, только тогда ваши "гипотезы" имеют шанс обрести ценность.

за тот ответ реально благодарен, но не могу не подколоть, настроение хорошее

[epros]

1. Не соответствует стандартному определению "истинности".
2. Понятие "стандартности" модели довольно мутное, то бишь зависит от моделирующей теории. Например, ZFC, как теория, моделирующая арифметику Пеано, может определять её стандартную модель. Но при этом можно промоделировать саму ZFC нестандартным образом, так что то, что она считает "стандартным", таковым не окажется.
3. Это неверно. Есть модели, в которых $A$ ложно. И в них решением диофантового уравнения, несуществование которого утверждается, окажется нестандартное число. Присоединение $\neg A$ в качестве аксиомы породит омега-противоречивую теорию (которая при этом не является противоречивой).

[arseniiv]

Я бы добавил, что истинность определяется для произвольной интерпретации языка, а модель (теории) — это такая интерпретация, в которой все утверждения теории истинны. Т. е. в матлогике «модель» довольно отличается от привычного понимания для, скажем, физики, где «модель» вообще, по-моему, больше соответствует тому, что в матлогике зовётся теорией.

[george66]

Добавим к арифметике новую аксиому "существует вывод противоречия в арифметике". Эта теория непротиворечива (по теореме Гёделя). И у неё есть модель - нестандартный натуральный ряд, в котором есть нестандартный, бесконечно длинный вывод противоречия (который мы выписать не можем).

[Qlin]

Независимое утверждение может быть истинным в одних моделях и ложным в других.

[mihaild]

Qlin в сообщении #1303299 писал(а):

Независимое утверждение может быть истинным в одних моделях и ложным в других.

Более того, по теореме о полноте оно обязано быть таким.

[warlock66613]

Спасибо, все ответы очень содержательные. Я понял, где хитрость. Действительно, в своём доказательстве истинности $A$ я неявно использовал стандартную модель.