Ковариация случайных величин в полиномиальном распределении

[error420]

Пусть у нас есть полиномиальное распределение
$P\left\lbrace\xi_1 = m_1, ... , \xi_r = m_r\right\rbrace= n! / (m_1! \cdot ... \cdot m_r! ) \cdot p_1^{m_1} \cdot ... \cdot p_r^{m_r} $ при целых неотрицательных $m_1 + ... + m_r = n$ и $P\left\lbrace\xi_1 = m_1, ... , \xi_r = m_r\right\rbrace = 0 $ в остальных случаях.

Каждая из случайных величин $\xi_j$ это число наступлений одного из взаимоисключающих событий $x_j$ при повторных независимых экспериментах. Если в каждом эксперименте вероятность наступления события $x_j$ равна $p_j$, то полиномиальная вероятность равна вероятности того, что при $n$ испытаниях события $x_1, ... , x_k$ наступят $n_1, ... , n_k$ раз соответственно.

Получается что каждая из случайных величин $\xi_j$ имеет биномиальное распределение и мат ожидание $M \xi_i = n \cdot p_i$ , $D \xi_i = n \cdot p_i \cdot q_i$

Дальше мне необдимо посчитать ковариацию $\xi_i$ и $\xi_j$ при $i \ne j$. Но я не могу понять как посчитать мат ожидание $M(\xi_i \xi_j)$. И вообще я не очень понимаю что за событие такое $(\xi_i \xi_j)$.

[Otta]

error420 в сообщении #1302655 писал(а):

Дальше мне необдимо посчитать ковариацию $\xi_i$ и $\xi_j$ при $i \ne j$. Но я не могу понять как посчитать мат ожидание $M(\xi_i \xi_j)$. И вообще я не очень понимаю что за событие такое $(\xi_i \xi_j)$.

Это не событие, это с.в.
Представьте каждую из ксишек как сумму с.в., распределенных по Бернулли, и работайте с ковариацией сумм.

[error420]

Otta

Представить в виде суммы, я справился, когда считал мат ожидание и дисперсию одной случайной величины.
Как раскладывать произведение к сожалению у меня нет идей, извиняюсь за неточность в терминологии.
В остальном, все равно не понимаю как образуется СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА $(\xi_i,\xi_j)$

[Otta]

error420 в сообщении #1302675 писал(а):

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА $(\xi_i,\xi_j)$

Это вектор. Если искать матожидание, как Вы собирались - то произведения. У Вас было правильно написано. А произведение принимает числовые значения. Размерность 1. Как считать матожидание? как обычно. Какие значения принимает произведение. С какими вероятностями. Но это тяжело для головы. Проще сразу считать ковариацию сумм.

[error420]

Otta
Сразу считать ковариация сумм?0_о


У меня есть несколько вариантов как интерпретировать эту величину.
Первый это величина принимает 1 в случае наступления пары событий $x_i , x_j$, то есть с вероятностью $p_i \cdot p_j$, тогда мат ожидание будет $n \cdot p_i \cdot p_j$ , что в свою очередь неверно, так как при таких данных результат коэффициента ковариация не сходится с данными доступными в интернете.
Другой вариант это кол-во наступлений в n испытаниях или события $x_i$ или $x_j$.
, мат ожидание соответственно будет $n \cdot ( p_i + p_j)$, что тоже выглядит как чушь.

На сколько я понял мат ожидание должно быть $n \cdot (n-1) \cdot p_i \cdot p_j$, откуда оно берётся, я понять не могу

[Otta]

error420 в сообщении #1302683 писал(а):

Первый это величина принимает 1

По результатам одного эксперимента?

[error420]

Otta
Ну что в духе
$(\xi_i,\xi_j) = \sum\limits_{k=1}^{n}\eta_k$
Где $P\left\lbrace\eta_k = 1\right\rbrace = p_i \cdot p_j$

[Otta]

Хотела Вас на мысль навести, а и облом.

error420 в сообщении #1302686 писал(а):

$(\xi_i,\xi_j) = \sum\limits_{k=1}^{n}\eta_k$

А ничего, что размерности левой и правой части разные?

[error420]

Я и говорю, что это неправильно, на счёт размерности, в случае линейной зависимости величин размерности совпадут, на сколько я себе это представляют

[Otta]

Нет. Хоть зависимы, хоть нет - вектор останется вектором.

Как Вы представляете в виде суммы бернуллиевских, скажем, $\xi_1$ и $\xi_2$? Что значит каждое обозначение в этом разложении, за что оно отвечает?

[error420]

В полиномиальном распределении у нас за один эксперимент выползает одно из k событий
За n экспериментов $m_i$ i-ых событий

Когда я раскладываю $\xi_i$ то в сумме у меня н. о. р. с. в. Принимающие значение 1 с вероятностью $p_i$

Вот такая таблица приведёт к мат ожиданию $n\cdot(p_i + p_j)$

-- 09.04.2018, 03:21 --

Я совсем не понимаю на какие «мысли» Вы пытаетесь меня навести...

[Otta]

error420 в сообщении #1302691 писал(а):

Я совсем не понимаю на какие «мысли» Вы пытаетесь меня навести...

А, это нормально. Мы просто разговариваем. О жизни.
Картинки Вашей я не вижу, модераторы спят - да и не надо. Все равно неправильно.

А вот:

error420 в сообщении #1302691 писал(а):

В полиномиальном распределении у нас за один эксперимент выползает одно из k событий
За n экспериментов $m_i$ i-ых событий

Когда я раскладываю $\xi_i$ то в сумме у меня н. о. р. с. в. Принимающие значение 1 с вероятностью $p_i$

Было бы хорошо, если бы Вы все же написали, в сумму каких именно с.в. Вы разлагаете, обозначив их за "эта" с индексами, например. И выяснили, какая "эта" за что отвечает. Вот эти единицы, которые набор с.в. принимает - у них вполне четкий "физиццкий" смысл, тесно привязанный к ходу эксперимента. И дело пойдет легче, когда эти единицы перестанут висеть в воздухе, а будут привязаны к происходящему.

Вы же понимаете, откуда и зачем они?

[error420]

Otta
Все о чем Вы говорите я понимаю, весь этот диалог не продвинулся ни на сантиметр ближе к моему пониманию.
Я согласен с концертом форума, что лучше давать наводки, чтоб человек сам пришёл к ответу, но либо я тупой, и не понимаю ваших подсказок/наводок, либо наводки должны быть какими-то другими.
Я к чему все это, если Вы знаете как найти необходимое мат ожидание, я бы не отказался от прямого ответа. Мне кажется мы не нарушим концепт форума, так как и я сюда пришёл не просто за ответом, и свои мысли мысли выложил, и исходи из Ваших попытался подумать.

-- 09.04.2018, 13:41 --

Otta
Я кажись понял
$M(\xi_i, \xi_j) = M((\xi_i_1, \xi_i_2, ... , \xi_i_n) \cdot (\xi_j_1, ... \xi_j_n)) = n(n-1)\cdot M(\xi_i_1, \xi_j_2) + n\cdot M(\xi_i_1, \xi_j_1) = n(n-1)\cdot (p_i \cdot p_j)$

так как $M(\xi_i_1, \xi_j_1) = 0$ потому что в первом испытании не могут выпасть сразу события $\xi_i и \xi_j$.

Вроде это правильно, спасибо за помощь.

[--mS--]

(Оффтоп)

$a+b$, $a\cdot b$, $(a,b)$ - три разных объекта. Первый - сумма, второй - произведение, третий - вектор.