Создатель "наивной" теории множеств Г. Кантор отмечал, что «существенное различие между конечными и бесконечными множествами обнаруживается в том, что конечное множ-во представляет одно и то же количество для любой последовательности, которую можно придать его элементам. Наоборот, множ-ву, состоящему из бесконечно многих элементов, соответствуют вообще различные количества в зависимости от последовательности, придаваемой элементам».
За примерами ходить далеко не надо.
Вспомним, как доказывается счетность множества рациональных чисел Q. Если попытаться пересчитать множ-во Q "в лоб" т.е., сначала сосчитать все целые числа, затем все дробные, то ничего у нас не выйдет. Поэтому предварительно выделяют в этом множестве
п/множ-ва целых чисел и п/множ-ва дробей с разными знаменателями, Затем начинают выбирать элем-ты множ-ва (числа) "по-диагонали" т.е. "пересчет" множества ведется "по диагонали" группами по 'n' элементов (n-ками). Причем число 'n' элементов в группе с каждым шагом увеличивается так, чтобы постепенно охватить пересчетом все элементы всех п/множ-в. Интересно отметить, что при этом приходится учитывать, что некоторые элементы совпадают по "качеству" ( 1/1 = 2/2 =...= 234/234 =...) т.е. выполнять по существу "нематематическую" операцию выявления ранее уже сосчитанных (помеченных) элементов, в то время как "обычный" счет предполагает всего лишь отыскивание следующего по порядку элем-та счета.
А теперь посмотрим одно из популярных доказательств несчетности множ-ва действительных чисел
Док-во ведется методом от противного.
Известно, что каждое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби вида
А, a1 a2 . . . an . . .
Предположим, что нам удалось каким-то образом пронумеровать все действительные числа.
Докажем, что это предположение неверно. Для этого достаточно построить хотя бы одно незанумерованное число.
Сначала, напишем нуль и поставим после него запятую. Потом возьмем число, получившее номер один и посмотрим на его первый десятичный знак после запятой. Если эта цифра отлична от 1, то в числе, которое мы пишем, поставим после запятой 1, а если эта цифра равна 1, то поставим после запятой цифру 2. Затем перейдем к числу, получившему второй номер, и посмотрим на его вторую цифру после запятой. Снова произведем замену цифр. Точно так же будем действовать и дальше, обращая каждый раз внимание лишь на n-ую цифру числа, получившего n-ный номер.
В рез-те мы выпишем некоторое число, не получившее номера: от числа с номером 1 оно отличается в первом десятичном знаке, от числа с номером 2 - во втором знаке, ..., от числа с номером n - в n-ом десятичном знаке и т.д.
Для наглядности предположим, что первые пять занумерованных чисел выглядят так:
5, 27364...
- 3, 31226...
7,94461...
0, 62419...
9,78289...
Тогда число, не получившее номера, будет начинаться со следующих десятичных знаков
0,12121...
Разумеется, мы могли бы получить ещё много чисел, которых нет в нашем списке.
Мы могли бы заменять все цифры кроме 2, на 2, а цифру 2 на 7 или выбрать какое-нибудь другое правило.
А теперь посмотрим на это доказ-во с другой стороны...
На каждом шаге нашей процедуры мы заменяем цифру n-го разряда числа, которое получило номер n, добиваясь отличия от этого "списочного" числа.
Но, поскольку в бесконечной десятичной дроби в каждом десятичном разряде наблюдается чередование цифр 0 . . . 9, на самом деле мы просто передвигаемся по нашему списку, не создавая "нового числа".
Например, на первом шаге мы перешли к подмнож-ву уже занумерованных нами ( по предположению!) чисел вида 0,1... .
После второго шага переходим к подмножеству десятичных дробей вида 0,12... и т.д.
Получается, что в силу первоначального предположения о перечислении всех бесконечных десятичных дробей, "новое число" 0, 12121... уже должно быть в нашем списке!
Выходит,что никакого "нового" числа мы не нашли, а просто продвинулись по нашему "счетному списку" дальше в бесконечность...
Ох, и дурят нас г-да математики! 
30.06.2008, 00:00 
