2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2  След.
 
 
Сообщение30.06.2008, 00:00 


29/06/08

137
Россия
Что есть бесконечность? Концепция или число?
Скорее всего это концепция.


Как известно, бесконечность имеет несколько "подвидов":
1) потенциальная
2) актуальная
3) счетная
4) несчетная
Бесконечное множество каких-либо объектов, в том числе и чисел, может быть представлено как потенциальная бесконечность или как актуальная. В зависимости от "способа вычисления" бесконечность может быть счетной и несчетной. Может быть "счетность" - это вообще свойство только потенциальной бесконечности, а для актуальной характерна именно "несчетность" ?...
В множестве натуральных чисел выделим подмножество четных чисел и
установим взаимно-однозначное (1-1) соответствие между ним и всем множ-вом: n ↔ 2n
Хотя подмнож-во четных чисел не содержит всех чисел, согласно операции "пересчета элементов" получается, что "часть" множества по "количеству" элементов равна "целому" !
В бесконечном множестве нет "последнего" элемента и всегда найдётся "следующий" элемент, который "заменяет" собой отсутствующие элементы.
Точнее говоря, поскольку операция пересчета есть присвоение элементам новых имен - "первый", "второй", ..., и т.д., то происходит замещение не самого элемента, а его имени в ряду натуральных чисел.
Таким образом, если главным для нас является пересчет, связанный с
перебором элементов, то мы отождествляем количество элементов с
количеством необходимых операций и полностью отвлекаемся от разделения
элементов по совпадению или несовпадению их качеств.
Если же мы сделаем значимым для себя разделение "предметов" на
тождественные и нетождественные, то мы приходим к теоретико-множественным операциям выделения и объединения, когда присоединение элементов, тождественных уже содержащимся во множестве, не изменяет мощности этого множества.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2008, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Ещё один "знаток"...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.07.2008, 06:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
Captious писал(а):
Что есть бесконечность? Концепция или число?
Скорее всего это концепция.


Как известно, бесконечность имеет несколько "подвидов":
1) потенциальная
2) актуальная
3) счетная
4) несчетная



Интересная и неожиданная классификация. Это примерно как на уроке биологии сказать следующее:

Как известно, деревья бывают нескольких "видов"
1) Высокие
2) Возле дома
3) Березы
4) Срубленные

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.07.2008, 22:30 


29/06/08

137
Россия
Создатель "наивной" теории множеств Г. Кантор отмечал, что «существенное различие между конечными и бесконечными множествами обнаруживается в том, что конечное множ-во представляет одно и то же количество для любой последовательности, которую можно придать его элементам. Наоборот, множ-ву, состоящему из бесконечно многих элементов, соответствуют вообще различные количества в зависимости от последовательности, придаваемой элементам».
За примерами ходить далеко не надо.
Вспомним, как доказывается счетность множества рациональных чисел Q. Если попытаться пересчитать множ-во Q "в лоб" т.е., сначала сосчитать все целые числа, затем все дробные, то ничего у нас не выйдет. Поэтому предварительно выделяют в этом множестве
п/множ-ва целых чисел и п/множ-ва дробей с разными знаменателями, Затем начинают выбирать элем-ты множ-ва (числа) "по-диагонали" т.е. "пересчет" множества ведется "по диагонали" группами по 'n' элементов (n-ками). Причем число 'n' элементов в группе с каждым шагом увеличивается так, чтобы постепенно охватить пересчетом все элементы всех п/множ-в. Интересно отметить, что при этом приходится учитывать, что некоторые элементы совпадают по "качеству" ( 1/1 = 2/2 =...= 234/234 =...) т.е. выполнять по существу "нематематическую" операцию выявления ранее уже сосчитанных (помеченных) элементов, в то время как "обычный" счет предполагает всего лишь отыскивание следующего по порядку элем-та счета.

А теперь посмотрим одно из популярных доказательств несчетности множ-ва действительных чисел
Док-во ведется методом от противного.

Известно, что каждое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби вида
А, a1 a2 . . . an . . .
Предположим, что нам удалось каким-то образом пронумеровать все действительные числа.
Докажем, что это предположение неверно. Для этого достаточно построить хотя бы одно незанумерованное число.
Сначала, напишем нуль и поставим после него запятую. Потом возьмем число, получившее номер один и посмотрим на его первый десятичный знак после запятой. Если эта цифра отлична от 1, то в числе, которое мы пишем, поставим после запятой 1, а если эта цифра равна 1, то поставим после запятой цифру 2. Затем перейдем к числу, получившему второй номер, и посмотрим на его вторую цифру после запятой. Снова произведем замену цифр. Точно так же будем действовать и дальше, обращая каждый раз внимание лишь на n-ую цифру числа, получившего n-ный номер.
В рез-те мы выпишем некоторое число, не получившее номера: от числа с номером 1 оно отличается в первом десятичном знаке, от числа с номером 2 - во втором знаке, ..., от числа с номером n - в n-ом десятичном знаке и т.д.
Для наглядности предположим, что первые пять занумерованных чисел выглядят так:
5, 27364...
- 3, 31226...
7,94461...
0, 62419...
9,78289...
Тогда число, не получившее номера, будет начинаться со следующих десятичных знаков
0,12121...
Разумеется, мы могли бы получить ещё много чисел, которых нет в нашем списке.
Мы могли бы заменять все цифры кроме 2, на 2, а цифру 2 на 7 или выбрать какое-нибудь другое правило.

А теперь посмотрим на это доказ-во с другой стороны...
На каждом шаге нашей процедуры мы заменяем цифру n-го разряда числа, которое получило номер n, добиваясь отличия от этого "списочного" числа.
Но, поскольку в бесконечной десятичной дроби в каждом десятичном разряде наблюдается чередование цифр 0 . . . 9, на самом деле мы просто передвигаемся по нашему списку, не создавая "нового числа".
Например, на первом шаге мы перешли к подмнож-ву уже занумерованных нами ( по предположению!) чисел вида 0,1... .
После второго шага переходим к подмножеству десятичных дробей вида 0,12... и т.д.
Получается, что в силу первоначального предположения о перечислении всех бесконечных десятичных дробей, "новое число" 0, 12121... уже должно быть в нашем списке!
Выходит,что никакого "нового" числа мы не нашли, а просто продвинулись по нашему "счетному списку" дальше в бесконечность...
Ох, и дурят нас г-да математики! :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2008, 06:33 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Captious писал(а):
Выходит,что никакого "нового" числа мы не нашли, а просто продвинулись по нашему "счетному списку" дальше в бесконечность...
С тем же успехом можно сказать, что "никакого "нового" числа мы не нашли, а просто доказали, что существуют ведьмы". Понимаете, в противоречивой аксиоматике можно вывести вообще любое утверждение. Как только найдено противоречие, все рассуждения (в том числе интерпретации, в чем же именно оно заключается) нужно немедленно прекращать.

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Вообще, Captious, вы это так рассказываете, как будто вы эту Америку только что открыли. :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2008, 07:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Captious писал(а):
А теперь посмотрим одно из популярных доказательств несчетности множ-ва действительных чисел
Док-во ведется методом от противного.

Captious писал(а):
Выходит,что никакого "нового" числа мы не нашли, а просто продвинулись по нашему "счетному списку" дальше в бесконечность...
Ох, и дурят нас г-да математики!

Вывод: Captious=Давидюк?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2008, 07:30 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Brukvalub ... помню, при установке Mandriva Linux можно выбрать уровень безопасности "Параноидальный".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2008, 07:33 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
 ! 
Brukvalub писал(а):
Вывод: Captious=Давидюк?
:offtopic1:

Big brother is watching y'all

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2008, 16:12 


29/06/08

137
Россия
AD писал(а):


Понимаете, в противоречивой аксиоматике можно вывести вообще любое утверждение. Как только найдено противоречие, все рассуждения (в том числе интерпретации, в чем же именно оно заключается) нужно немедленно прекращать.

Может быть, может быть...
А какая в этом доказательстве "противоречивая аксиоматика"? Нельзя ли чуть-чуть подробнее? Так сказать, для особо понятливых... :wink:

AD писал(а):

Вообще, Captious, вы это так рассказываете, как будто вы эту Америку только что открыли...

Это вы сейчас о чём? :shock:
_________________________________
Продолжим...

Аналогично доказательству несчетности множества вещественных чисел проводится доказательство теоремы о том, что множ-во всех вещественных (непрерывных и разрывных) функций F, заданных на отрезке P=[0,1] имеет мощность большую, чем мощность континуума.

Допустим противное, т.е. что между функциями f(x) из F и числами из P можно установить 1-1 соответствие.
Это означает, что каждую функцию можно снабдить индексом t : 0 =< t <= 1, т.е.
f(x) тождественна f(x)|t , и когда индекс t пробегает отрезок [0,1], функции f(x) заполняют все множ-во F.
Рассмотрим функцию двух переменных g(x,t) = f(x)|t
определенную в квадрате 0 =< t,x <= 1 .
С помощью этой функции построим функцию одной переменной
ф(x) =g(x,x)+1
Функция ф(x) определена на отрезке [0,1] и поэтому входит в множ-во F.
Следовательно, ф(x) есть f(x)|t при некотором значении индекса t°
ф(x) = f(x)|t°
или, в иной записи g(x,x)+1 = g(x,t°) (тождественно по х)
Полагая х=t° получаем
g(t°,t°) +1 = g(t°,t°), т.е. 1=0.
Полученное противоречие должно убедить нас в неэквивалентности множ-в F и P

Но позвольте, г-да математики!
Когда мы строили функцию ф(x), с помощью функции одной переменной g(x,x), то почему-то "забыли" , что g(x,x) и g(x,x)+1 - это две разные функции из множ-ва F ! Соответственно, они должны быть снабжены разными индексами t !
Это ведь вы заявили нам, что каждую функцию снабдили индексом t, пробегающим континуум значений, а теперь выясняется, что "забыли" проиндексировать функции, получающиеся в рез-те комбинирования других функций с помощью операции сложения?
Как же нам теперь вам верить, г-да математики?
Дурите вы нас, ох как дурите!... :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2008, 16:35 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
 !  PAV:
Отделено в самостоятельную тему.

Captious, если тема будет посвящена обсуждению известных доказательств, как пока что и просходит, то она будет существовать. Но просто на всякий случай предупреждаю, что если вдруг Вам вздумается доказывать счетность множества вещественных чисел или что-нибудь подобное, то тема будет закрыта. Этот вопрос на нашем форуме не обсуждается.

Отвечать в теме мне не надо, это будет нарушением правил. Просто примите к сведению.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2008, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Captious писал(а):
Но позвольте, г-да математики! Когда мы строили функцию ф(x), с помощью функции одной переменной g(x,x), то почему-то "забыли" , что g(x,x) и g(x,x)+1 - это две разные функции из множ-ва F ! Соответственно, они должны быть снабжены разными индексами t !
Как говорится, "сам шучу - сам смеюсь". Укажите, где в приведенном вами д-ве используется, что функции g(x,x) и g(x,x)+1 помечены одним индексом?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2008, 17:14 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
А по поводу предыдущего поста

Captious писал(а):
Получается, что в силу первоначального предположения о перечислении всех бесконечных десятичных дробей, "новое число" 0, 12121... уже должно быть в нашем списке!


Разумеется, должно быть. По предположению, поскольку мы перечислили все числа. Но с другой стороны, по построению этого числа оно не может иметь никакого номера. Это противоречие и доказывает, что предположение было неверно и пронумеровать все числа невозможно. В чем проблема с этим рассуждением, я не вижу.

Добавлено спустя 29 минут 57 секунд:

Captious писал(а):
Интересно отметить, что при этом приходится учитывать, что некоторые элементы совпадают по "качеству" ( 1/1 = 2/2 =...= 234/234 =...) т.е. выполнять по существу "нематематическую" операцию выявления ранее уже сосчитанных (помеченных) элементов, в то время как "обычный" счет предполагает всего лишь отыскивание следующего по порядку элем-та счета.


А зачем это было сказано, я не понял. Какой вывод? Вообще-то можно легко организовать пересчет рациональных чисел и без операции "проверки всех ранее посчитанных".

В целом же непонятно, что автор хочет сказать своими сообщениями.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2008, 17:53 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
PAV писал(а):
В целом же непонятно, что автор хочет сказать своими сообщениями.


+1

Приветствую тебя, великий Давидюк,
Шагаешь ты по городам и сёлам,
И словно злой, воинственный индюк
Ты угрожаешь нашим новосёлам...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2008, 19:48 


29/06/08

137
Россия
Captious писал(а):

Получается, что в силу первоначального предположения о перечислении всех бесконечных десятичных дробей, "новое число" 0, 12121... уже должно быть в нашем списке!
PAV писал(а):
Разумеется, должно быть. По предположению, поскольку мы перечислили все числа. Но с другой стороны, по построению этого числа оно не может иметь никакого номера.

Неужели? :shock:
А по-моему, построение номера этого т.наз. "нового" числа, якобы не входящего в список, ничем не отличается от построения номеров "списочных" чисел...
Я не прав? :wink:
PAV писал(а):
Вообще-то можно легко организовать пересчет рациональных чисел и без операции "проверки всех ранее посчитанных".

Неужели? :shock:
И как по вашему методу пересчета можно узнать, что встретив, например, число
25\100 я должен его "пропустить", поскольку число 1\4 уже получило свой уникальный номер в ряду натуральных чисел? :? :wink:
PAV писал(а):
В целом же непонятно, что автор хочет сказать своими сообщениями.

А куда нам спешить-то? :shock:
Бесконечность - это "вещь" достаточно серьезная... :wink:

Brukvalub писал(а):
Укажите, где в приведенном вами д-ве используется, что функции g(x,x) и g(x,x)+1 помечены одним индексом?


Полагая х=t° получаем
g(t°,t°) +1 = g(t°,t°), т.е. 1=0

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2008, 20:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Captious писал(а):
25\100 я должен его "пропустить", поскольку число 1\4 уже получило свой уникальный номер в ряду натуральных чисел? :? :wink:

дело не в том, чего оно там получило, а -- что ничего этому числу не обломится. Поскольку есть регулярный алгоритм нумерации. И при просмотре пар целых чисел "змейкой" или каким угодно иным способом первое действие, осуществляемое над этой парой -- проверка, не встречался ли уже ранее её эквивалент. (Проверка корректна, т.к. требует конечного к-ва операций). Не встречался -- в список, встречался -- гуляй.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group