Проективное преобразование

[DLL]

На стр. 183 книжки Ибрагимова выписано одно-параметрическое преобразование (проективное)

$$ \bar{x} = \frac{x}{1 - ax}, \bar{y} = \frac{y}{1 - ax}. $$

Имеет ли это отношение к проективному преобразованию проективной плоскости (как показано на рис. 18)?

[iifat]

Странно. Вроде б, проективное отображение характеризуется тем, что повторное отображение приводит в ту же точку, что и однократное. Преобразование из книжки Ибрагимова таким свойством, вроде бы, не обладает.

[arseniiv]

Не, это не про проекторы, а преобразования проективного пространства.

Связь тут действительно есть, потому что если взять проективную плоскость, на некоторой её аффинной карте проективные преобразования будут в координатах действовать в общем случае как

$$(x,y)\mapsto\frac{(Ax+By+C,Dx+Ey+F)}{Gx+Hy+I}.$$

Видно, что преобразования из данной группы действительно имеют такой вид.

[DeBill]

arseniiv в сообщении #1302348 писал(а):

Видно, что преобразования из данной группы действительно имеют такой вид.

Не, не видно. Пр.пр-я (плоскости) должны отправлять в туман целую прямую, а тут - точка.
Но: каждое из них - проективное (одномерное). Пр-е ТС - это действие проективной группы (одномерной) на прямом произведении двух прямых (точнее, двух экземплярах эр-пэ-один). Так что, допуская некую вольность речи, про пр-е ТС можно говорить: проективное, мол, оно...

[arseniiv]

DeBill в сообщении #1302395 писал(а):

Не, не видно.

Почему? $(A,B,C,\;\;D,E,F,\;\;G,H,I) = (1,0,0,\;\;0,1,0,\;\;-a,0,1)$, прекрасно представляется.

Я понимаю, что чтобы нормально говорить о проективных преобразованиях, нужно всё-таки брать проективное пространство, а на какой-то одной его аффинной карте оно даже в некоторых точках будет не определено, ну и с образом будут нелады, но что уж дали.

[пианист]

Например, если взять однородные координаты $(a,b,c)$, "обычные" $x=\frac{a}{c}, y=\frac{b}{c}$, то линейное преобразование в однородных $X= - a\frac{\partial}{\partial c}$ даст в обычных:
$X(x) = X(\frac{a}{c}) = \frac{a^2}{c^2} = x^2$,
$X(y) = X(\frac{b}{c}) = \frac{a b}{c^2} = x y$,
Т.е. $X = x^2 \frac{\partial}{\partial x} + x y \frac{\partial}{\partial y}$.
Это, насколько я понимаю, то, что интересует.

[DeBill]

arseniiv в сообщении #1302411 писал(а):

Почему?

То ли у меня глюк , то ли в исходном посте во втором знаменателе был игрек (и он отредактировался? а я не заметил)
Ну, щас - конечно, будет, ага.

[arseniiv]

Ну, когда я увидел, уже не было точно, но кто знает…